常微概念

1、第四部分 常微分方程,微分方程是與高等數(shù)學(xué)微積分(微分 + 積分)密切相關(guān)的一個(gè)內(nèi)容, 在很多問題的討論中都會(huì)遇到. 學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容, 是想讓大家對(duì)高等數(shù)學(xué)的微積分有更深入的了解. 微分方程的內(nèi)容相當(dāng)豐富, 我們只要求大家能理解微分方程的有關(guān)概念, 會(huì)求解簡(jiǎn)單的一階微分方程.,學(xué)習(xí)任務(wù)一 微分方程的基本概念,1. 什么是微分方程？例(微分方程問題) 設(shè)曲線通過點(diǎn)(2, 1)且在曲線上任意(x, y)點(diǎn)的切線斜率為2x，求曲線的方

2、程. Solution 設(shè)曲線方程為y =f(x).,根據(jù)題意知,這就是一個(gè)微分方程,它里面含有自變量x，含有未知函數(shù)y(x),更關(guān)鍵的是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,,,,,,,微分方程的定義 將含有自變量x, 含有未知函數(shù)y(x), 更關(guān)鍵的是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程.在中學(xué)知道, 含有未知量的等式稱為方程. 微分方程中當(dāng)然含有未知量, 與以前的方程不同, 微分方程含有自變量x、含有因變量(即未知函數(shù))y. 之所以稱為

3、微分方程是因?yàn)樗锩婧形粗瘮?shù)的導(dǎo)數(shù).,所謂求解微分方程, 就是要將y是x的怎樣的函數(shù)全部求出來, 當(dāng)然不是求x等于多少、y等于多少. 例如, 因?yàn)?, 由于所以其中C為任意常數(shù).,2. 什么是微分方程的階、微分方程的階、微分方程的初始條件？(1) 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)就是該微分方程的階. 微分方程是按未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)進(jìn)行劃分的，不同階數(shù)的微分方程求解的方法也很不相同

4、.微分方程 是一階微分方程. 又如 、 、 等都是一階微分方程.,還需注意, 微分方程 可以寫成 也可以寫成 dy = 2x dx, 也就是說dy = 2x dx是一階微分方程. 類似地, 2xydy + (x2 + y2)dx = 0也是一階微分方程. 在微分方程中, 由于導(dǎo)數(shù)的最高階是2, 因此它是二階微分方

5、程. 只要求大家會(huì)求解一階微分方程.,(2) 滿足微分方程的任何函數(shù)都是該微分方程的解. 例如, 對(duì)于微分方程 來說, 由于 , 所以y = x2 + 3是微分方程的解. 同理, 對(duì)于任意常數(shù)C, 由于 , 所以y = x2 + C是微分方程的解. 因?yàn)?,

6、 因此y = 4x2 + 3不是微分方程的解.,對(duì)于微分方程ydy + xdx = 0, 由方程x2 + y2 = 2所確定的隱函數(shù)y = y(x)的導(dǎo)數(shù) 進(jìn)而ydy + xdx = 0, 于是由方程x2 + y2 = 2所確定的隱函數(shù)y = y(x)是微分方程ydy + xdx = 0的解, 有時(shí)侯直接說x2 + y2 = 2是微分方程的解. 類似地, 對(duì)于任意常數(shù)C, x2 + y2 = C也是微分方程ydy +

7、 xdx = 0的解.,一般來說, 一個(gè)微分方程有無窮多個(gè)解. 我們將不含任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解. 對(duì)于n階微分方程來說，將含n個(gè)(獨(dú)立)任意常數(shù)的解稱為該微分方程的通解. 通解的意思是, 可能除有限多個(gè)特解外, 其余所有的解都具有同樣的形式, 只是任意常數(shù)的取值不同而已. 對(duì)于微分方程 , y = x2 + C是微分方程的通解, 而y = x2 - 3是微分方程的特解.,對(duì)于微分方程ydy + xdx

8、= 0, x2 + y2 = C也是微分方程的通解, x2 + y2 = 2是微分方程的特解. 對(duì)于微分方程通解：特解：y = 0.,(3) 一般來說, 確定出通解中任意常數(shù)所給出的條件稱為微分方程的初始條件. 一般來說, 一階微分方程的初始條件是 意思是對(duì)于所求的函數(shù)y(x)當(dāng)x取x0時(shí), y取y0. 例如, 在前面的例子中, 已知曲線通過點(diǎn)(2, 1), 意味著當(dāng)x取2時(shí), y取1, 它就是初始條件, 可以寫成