曲面的Clifford定理與零維行列式子概型的Cayley-Bacharach性質(zhì).pdf

1、Brill-Noether理論是研究代數(shù)曲線上的特殊除子或線性系的經(jīng)典理論,Clifford定理是這個(gè)理論的第一步.本文的主要目的是想推廣代數(shù)曲線上的Clifford定理到光滑代數(shù)曲面S上.
　　 在代數(shù)曲面的研究中,一個(gè)基本而重要的問(wèn)題是研究伴隨線性系｜Ks+L｜.初略地講,是研究這個(gè)線性系在L的正性下的行為.當(dāng)L>0時(shí),我們有著名的Reider方法來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題(見(jiàn)[81]).當(dāng)L=0時(shí),典范線性系已經(jīng)被Beauville系

2、統(tǒng)的研究過(guò)(見(jiàn)[11]).當(dāng)L<0時(shí),這個(gè)線性系在曲線上對(duì)應(yīng)著特殊除子.盡管如此,在曲面情形時(shí),我們還沒(méi)有一般的理論來(lái)研究這樣的線性系.為了找到一套研究曲面上特殊線性系的方法,我們首先需要建立曲面上的Clifford定理.本文從兩種不同的角度對(duì)Clifford定理進(jìn)行了推廣.并且用推廣的結(jié)果定義了兩個(gè)類似于曲線上Clifford指標(biāo)的不變量α和β.我們研究了這兩個(gè)不變量的基本性質(zhì),給出了它們的一些界.當(dāng)α和β較小時(shí),我們給出了對(duì)應(yīng)的曲面

3、的較詳細(xì)的刻畫(huà).作為應(yīng)用我們給出了曲面模空間維數(shù)的一個(gè)上界估計(jì).我們還將我們的技巧做進(jìn)一步的推廣,給出高維代數(shù)簇的一些數(shù)值不等式.
　　 另外,我們還研究了代數(shù)簇的另一個(gè)重要的性質(zhì):Cayley-Bacharach性質(zhì).代數(shù)簇的Cayley-Bacharach性質(zhì)在經(jīng)典代數(shù)幾何的研究中已經(jīng)有很長(zhǎng)的歷史了(見(jiàn)[29]).在[88]中,談勝利證明了代數(shù)簇上零維完全交子概型的Cayley-Bacharach性質(zhì)等價(jià)于某個(gè)伴隨線性系的κ

4、-very ample性.而在[91]中,談勝利和Viehweg推廣了這個(gè)結(jié)果,證明了代數(shù)簇上由一個(gè)向量叢的一個(gè)整體截面定義的零維子概型的Cayley-Bacharach性質(zhì)等價(jià)于某個(gè)伴隨線性系的κ-very ample性.我們?cè)诒疚闹形覀儗?duì)于這些結(jié)果做了進(jìn)一步推廣,證明了對(duì)于代數(shù)簇上由一個(gè)向量叢的多個(gè)整體截面的外積定義的零維子概型,這個(gè)結(jié)果任然正確.這同時(shí)也是Griffiths和Harris的一個(gè)定理的推廣(見(jiàn)[35],p.677).