四元數(shù)M-J集的構(gòu)造及其分形結(jié)構(gòu)的研究.pdf

1、Mandelbrot集(以下簡(jiǎn)稱M集)和Julia集是分形發(fā)生學(xué)中的經(jīng)典集合。借助于計(jì)算機(jī)的運(yùn)算和模擬手段，人們對(duì)M集和Julia集進(jìn)行了大量的分析和研究，實(shí)現(xiàn)了對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的許多構(gòu)想，同時(shí)其研究結(jié)果還涉及交叉發(fā)展的諸多學(xué)科領(lǐng)域，如Klein群理論、擬共形映照理論、Teichmüller空間理論、拓?fù)鋵W(xué)、復(fù)分析、計(jì)算方法、遍歷性理論和符號(hào)動(dòng)力學(xué)等。 目前高維分形是分形領(lǐng)域中研究的一個(gè)熱點(diǎn)，但是高維分形因高維空間的復(fù)雜性和圖像顯示的

2、困難性還有很多問題亟待探討。本文構(gòu)造了對(duì)四元數(shù)映射f：z←zα+c(α∈Z)的廣義M集和Julia集，并對(duì)其特性進(jìn)行了深入的研究，探討了四元數(shù)廣義M-J集的裂變演化規(guī)律。 本文利用n維參數(shù)L系統(tǒng)描述了超復(fù)數(shù)空間廣義M集和Julia集，給出了描述算法和實(shí)驗(yàn)所得圖形，并對(duì)四元數(shù)廣義M-J集的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行了理論上的分析和探討。本文研究發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)廣義M集的特殊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及四元數(shù)廣義Julia集的參數(shù)不變性，推廣了Bogush的相關(guān)結(jié)

3、論。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，n維參數(shù)L系統(tǒng)字母表較為簡(jiǎn)潔，包含信息量大，可以有效的描述諸如廣義M-J集和四元數(shù)廣義M-J集的分形集。 本文繪制了四元數(shù)廣義M-J集的三維分形圖，并采用逃逸時(shí)間算法或Lyapunov指數(shù)法與周期點(diǎn)查找法相結(jié)合，構(gòu)造了四元數(shù)廣義M-J集的周期域。計(jì)算了四元數(shù)M集的周期域的邊界條件，并從理論上對(duì)四元數(shù)廣義M-J集的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行了分析和探討。通過在四元數(shù)M集取點(diǎn)構(gòu)造四元數(shù)Julia集，定性建立了四元數(shù)M集上點(diǎn)的坐

4、標(biāo)與四元數(shù)Julia集整體結(jié)構(gòu)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 采用逃逸時(shí)間算法與周期點(diǎn)查找結(jié)合法，構(gòu)造了四元數(shù)映射f：z←z2+c的多臨界點(diǎn)M集，探索了多臨界點(diǎn)情況下四元數(shù)M集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和裂變演化規(guī)律，計(jì)算了四元數(shù)M集的周期域的中心位置和邊界條件。提出了改進(jìn)的逃逸時(shí)間算法，采用該算法構(gòu)造四元數(shù)廣義M集可以觀察到，周期域中心點(diǎn)的分布隨臨界點(diǎn)不同產(chǎn)生了遷移甚至分化。通過構(gòu)造分岔圖和計(jì)算M集的盒維數(shù)，討論了不同臨界點(diǎn)對(duì)M集的影響。研究結(jié)果表明，四元

5、數(shù)映射f：z←z2+c的M集由所有臨界點(diǎn)決定的四元數(shù)M集的并集組成。 構(gòu)造了受動(dòng)態(tài)噪聲和輸出噪聲擾動(dòng)的四元數(shù)M集，并分析了噪聲擾動(dòng)下M集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)演變規(guī)律。通過構(gòu)造周期域和分岔圖觀察了噪聲對(duì)M集的影響。研究結(jié)果表明，加性動(dòng)態(tài)噪聲并沒有從本質(zhì)上改變四元數(shù)M集的結(jié)構(gòu)，噪聲使得M集的周期穩(wěn)定域產(chǎn)生了偏移。乘性動(dòng)態(tài)噪聲使得M集的穩(wěn)定域產(chǎn)生了收縮，而收縮的比例是由噪聲的強(qiáng)度決定的。另外，受干擾的M集始終相對(duì)實(shí)軸保持著對(duì)稱。輸出噪聲并沒有改