一維橢圓和拋物方程的超收斂二次有限體積元方法.pdf

1、天津師范大學(xué)碩士學(xué)位論文一維橢圓和拋物方程的超收斂二次有限體積元方法姓名：郭偉利申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士專(zhuān)業(yè)：計(jì)算數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：王同科20090301A K i n d o fQ u a d r a t i cS u p e r c o n v e r g e n c eF i n i t eV o l u m e E l e m e n tM e t h o df o rO n e D i m e n s i o n a lE l l i

2、p t i ca n d P a r a b o l i cE q u a t i o n sA b s t r a c tF i n i t ev o l u m e e l e m e n tm e t h o d s ( F V E M s ) ，w h i c h w e r ec a n e db o x m e t h o d s [ 2 5 】i ne a r l yt i m e sd i s c r e t i z e

3、t h ei n t e g r a l f o r mo fc o n s e r v a t i o nl a w o fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nb yc h o o s i n gl i n e a r o rb i l i n e a rf n i t ee l e m e n ts p a c ea st h et r i a ls p a c e ．T h em e t

4、h o d ，w h i c ha r e a l s oc a l l e dg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d ( G D M s ) h a v e b e e n w i d e l yu s e d i nn u m e r i c a l p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n df

5、l u i dd y n a m a c i sb e c a u s et h e yk e e p t h ec o n s e r v a t i o nl a w o fm a s s o re n e r g y ．E s s e n t i a l l y , f i n i t ev o l u m ee l e m e n ti s m e t h o db a s e do ni n t e r p o l a t i

6、 o n s ．B ya p p r o x i m a t i o nt h e o r y , w ek n o wt h en u m e r i c a l d e r i v a t i v e sh a v eo n l yko r d e ra c c u r a c yf o r i n t e r p o l a t i n gp o l y n 伊m i a l so fo r d e rki ng e n e r

7、a l ．B u tt h i sf a c t d o e sn o t e x c l u d e t h ep o s s i b i l i t yt h a tt h e a p p r o x i -m a t i o no fd e r i v a t i v e sm a y b eo fh i g h e ro r d e ra c c u r a c ya ts o m e s p e c i a lp o i n

8、t s ，w h i c h a r ec a l l e do p t i m a ls t r e s sp o i n t s ．F o r q u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o n a s s o c i a t e dw i t h t h e p o i n t s 一1 ，0 ，1 o n t h ee l e m e n t [ - 1 ，1 】，t h i r do r d

9、e r a c c u r a c y i s a c h i e v e d a tp o i n t s 一麗1 ，1 刁1 ·W ec a l l t h e s e p o i n t st h eo p t i m a l s t r e s sp o i n t s ．I nt h i sp a p e r ，w e p r e s e n tak i n do fq u a d r a t i cf i n i

10、t ev o l u m e e l e m e n tm e t h o db a s e do n o p -t i m a ls t r e s sp o i n t sf o rt w o - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s a n do b t a i nt h es u p e r c o n v e r g e n c e o fd e r i v a t

11、 i v e sa to p t i m a ls t r e s sp o i n t sa n ds u p e r c o n v e r g e n c ea t n o d e s ．I nc h a p t e ro n e ，q u a d r a t i cs u p e r c o n v e r g e n c e f i n i t ev o l u m e e l e m e n tm e t h o di sp

12、 r e s e n t e df o rt w o - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b -l e m s ．I ns e c t i o no n e 。c o m p u t a t i o n a ls c h e m e i sd e r i v e da n d i n t h es e c t i o nt w o ，w eg i v eH 1a n d ∥n o r me

13、 r r o re s t i m a t e sa n d p r o v es e c o n do r d e rw i t hH ln o r ma n dt h i r do r d e ra c c u r a c yw i t hL zn o r m ．I nt h es e c t i o nt h r e e ，t h ed e r i v a t i v es u p e r c o n v e r g e n c

14、ea to p t i m a ls t r e s sp o i n t si s s h o w e dt h e o r e t i c a l l ya n d p r o v e t h es u p e r c o n v e r g e n c ea tn o d e s f o r t h es i m p l y c a s e ．F i n a l l y , i nt h es e c t i o nf o l l

15、 r ，t w on u m e r i c a le x a m p l e s s h o wt h a tt h em e t h o di sv e r ye f f e c t i v e b yc o m p a r i s o n ．I nc h a p t e rt w o ，s u p e r c o n v e r g e n t f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h

16、o db a s e do nq u a d r a t i c i n t e r -p o l a t i o ni s g e n e r a l i z e d t oo n ed i m e n s i o n a lp a r a b o l i cp r o b l e m s ．I ns e c t i o no n e ，t h e s c h e m ei sd e r i v e d ．I ns e c t i o

17、 nt w o ，L 2n o r m i sa n a l y z e d a n df i n a l l y , n u m e r i c a le x a m p l e s a r eg i v e n t os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d ．K e y w o r d s ：t w o - p o i n t b o u n d a r y v a l