基于最優(yōu)控制理論的退化拋物型方程的源項(xiàng)反演問題.pdf

1、眾所周知,個(gè)別典型的反問題可以追溯到很早以前,但反問題的興起倒是近幾年的事。反問題并沒有精確的定義,它是相對于正問題而言的,從實(shí)際情況來看,研究反問題的難度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于相應(yīng)的正問題的難度。因?yàn)榻鉀Q正問題是根據(jù)已有的信息來得到結(jié)果,而反問題的解決是則需根據(jù)一些通過測量或者實(shí)驗(yàn)得到的零碎信息來反演出未知的原始信息。很明顯這違反了物理過程的自然順序,它不再滿足正問題中許多良好的性質(zhì),這也正是反問題研究的難點(diǎn)所在。
　　我們知道,大多數(shù)反問

2、題都是不適定的,也就是說,反問題的解不存在,或不唯一,或不穩(wěn)定。因?yàn)樵诮夥磫栴}的時(shí)候我們能夠用到的已知信息很少,大多都是要通過測量或?qū)嶒?yàn)得到的,但在實(shí)際操作過程中不可避免的會(huì)存在誤差,由于反問題的不適定性,微小的誤差可能會(huì)導(dǎo)致反問題的解被無限放大,致使得到的結(jié)果毫無意義。
　　全文共分為以下五個(gè)部分:
　　第一章介紹了反問題的研究背景和國內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)。
　　第二章主要從理論分析的角度研究了一類發(fā)展型反問題。
　　

3、§2.1提出了要解決的問題P。
　　§2.2考慮到所研究問題的不適定性,將問題P轉(zhuǎn)換成了一個(gè)控制問題,并證明了控制泛函極小元的存在性。
　　§2.3推導(dǎo)出了最優(yōu)解所滿足的必要條件。
　　§2.4則通過由離散觀測數(shù)據(jù)重新構(gòu)造出的連續(xù)函數(shù)證明了最優(yōu)解滿足的某種連續(xù)性。
　　§2.5對本章做了小結(jié)。
　　第三章討論了一類退化型的拋物型方程。
　　§3.1提出了要解決的問題Q,它與問題P不同,問題Q不需要給出

4、邊界條件,換句話說,它不滿足一致橢圓型條件。
　　§3.2也是將問題Q轉(zhuǎn)化成了一個(gè)最優(yōu)控制問題。
　　§3.3證明了控制泛函極小元的存在性。
　　§3.4推導(dǎo)出了最優(yōu)解滿足的必要條件。
　　§3.5則通過上一節(jié)得到的必要條件證明了最優(yōu)解的全局唯一性和穩(wěn)定性。
　　§3.6對本章做了小結(jié)。
　　第四章主要是對第三章中提出的模型從計(jì)算的角度做了數(shù)值模擬。
　　§4.1提出了共軛梯度迭代法并給出了相應(yīng)

5、的迭代步驟。
　　§4.2通過兩個(gè)具體的實(shí)例驗(yàn)證了反演效果,從結(jié)果可看出所用的迭代法有很好的穩(wěn)定性,并且未知源項(xiàng)恢復(fù)得比較好。
　　§4.3對本章做了小結(jié)。
　　第五章對全文做了總結(jié)與展望。對問題P來說,后續(xù)的主要工作是從數(shù)值角度來研究,尋找一種好的迭代法并能夠很好地恢復(fù)出反演的參數(shù)。另外,本文從一維的角度討論了問題Q,對于高維的情形,也可用類似的方法進(jìn)行研究。當(dāng)然,可以想象到對高維問題做數(shù)值模擬要比一維情形復(fù)雜的多,