一類(lèi)非奇異線(xiàn)性方程組的快速解法.pdf

1、隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展，在各門(mén)自然科學(xué)和工程技術(shù)科學(xué)的發(fā)展中，科學(xué)計(jì)算已經(jīng)成為平行于理論分析和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的第三種科學(xué)手段。數(shù)值計(jì)算是科學(xué)計(jì)算中的一個(gè)不可缺少的環(huán)節(jié)，而在數(shù)值計(jì)算中，一類(lèi)很重要的問(wèn)題就是線(xiàn)性方程組的求解。另外，數(shù)學(xué)和物理以及力學(xué)等學(xué)科和工程技術(shù)中許多問(wèn)題的最終解決都?xì)w結(jié)為解一個(gè)或一些大型系數(shù)矩陣的線(xiàn)性方程組。所以，大型線(xiàn)性方程組的求解是大規(guī)?？茖W(xué)與計(jì)算的核心，許多作者都對(duì)此作了研究(見(jiàn)[1]-[11])。 大

2、型線(xiàn)性方程組Ax=b的求解，主要有直接求解法和迭代法求解。對(duì)于階數(shù)不太高的線(xiàn)性方程組，用直接法比較方便，高斯消元法和克蘭姆法則是直接解法里面最重要的解法。但是，隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，需要求解的問(wèn)題的規(guī)模越來(lái)越大，迭代法已取代直接法成為求解大型線(xiàn)性組的最重要的一類(lèi)方法。此時(shí)，迭代格式的收斂性和收斂速度成為一個(gè)很重要的問(wèn)題，成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)(見(jiàn)[12]-[17])。不收斂的格式當(dāng)然不能用，雖然收斂但是收斂的很慢的格式，不僅是人工和機(jī)器的

3、時(shí)間比較浪費(fèi)，而且還不一定能解出結(jié)果，實(shí)際應(yīng)用價(jià)值太小。 通常用的迭代法有Jacobi,Gauss—Seidel等古典迭代法，還有SOR,AOR以及SAOR,SSOR等迭代法。這些迭代法的提出對(duì)大型線(xiàn)性方程組的求解提供了一條快速有效的途徑。但是這些迭代法相對(duì)來(lái)說(shuō)使用條件很苛刻，或者很繁瑣。此外當(dāng)?shù)仃嚨淖V半徑比較大，尤其接近1時(shí)，迭代速度將會(huì)很慢，極大的影響了方程組求解的時(shí)效性，從而使它們的應(yīng)用受到了一定的限制。故本文在前人的

4、基礎(chǔ)上，通過(guò)大量的查閱文獻(xiàn)和思考，尋找一類(lèi)線(xiàn)性方程組的快速解法。 在本文中約定A=D—C，J=D<'-1>C，A=(aij)∈R<'n×n>為對(duì)角線(xiàn)不為零的非奇異矩陣，x，b∈R<'n>分別為待求的和已知的列向量。正文內(nèi)容部分從第一章到第四章，詳細(xì)內(nèi)容說(shuō)明如下： 第一章，概述了線(xiàn)性方程組求解主要方法，同時(shí)介紹了近年來(lái)一些迭代法的發(fā)展概況。 第二章，主要討論當(dāng)線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣為非奇異M陣時(shí)，利用交替方向法，使得

5、它的迭代矩陣的譜半徑可以任意?。煌瑫r(shí)利用矩陣級(jí)數(shù)理論簡(jiǎn)化了常數(shù)向量，找出了一條快速有效的解決系數(shù)矩陣為非奇異M陣的迭代方法。 第三章，主要討論了當(dāng)線(xiàn)性方程組為一般的非奇異線(xiàn)性方程組時(shí)，如果它滿(mǎn)足所給的條件，把系數(shù)矩陣的逆通過(guò)級(jí)數(shù)的形式表示，從而找到了一條快速解決一類(lèi)線(xiàn)性方程組的直接接法，即它的解可以表示為x=A<'-1>b=D<'-1>b，或者x=A<'-1>b=1/sb，從而大大提高了計(jì)算速度。 第四章，應(yīng)用舉例。本章