解析不變曲線與迭代方程的解析解.pdf

1、動力系統(tǒng)就是要研究一個決定性系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時間變化的規(guī)律.根據(jù)系統(tǒng)變化的規(guī)律可分為由微分方程描述的連續(xù)動力系統(tǒng)和由映射迭代揭示的離散動力系統(tǒng).許多物理、力學、生物學以及天文學問題的數(shù)學模型都是離散的迭代過程描述的.動力系統(tǒng)的許多問題都可以化為迭代函數(shù)方程.漫長的歷史沉淀使迭代函數(shù)方程成為與微分方程、差分方程、積分方程及動力系統(tǒng)緊密相關的現(xiàn)代數(shù)學分支，在實驗科學和工程科學研究中起著重要作用.迭代函數(shù)方程伴隨著迭代理論的發(fā)展，從巴貝奇、阿

2、貝爾等數(shù)學家開始至今，已經(jīng)形成了一個理論體系.本文在緒論中介紹了函數(shù)迭代的特性及其在現(xiàn)實生活中的應用、迭代與動力系統(tǒng)的概念、離散動力系統(tǒng)與連續(xù)動力系統(tǒng)的概念、迭代函數(shù)方程的基本形式、迭代根問題、不變曲線問題及Davie引理，并且簡要介紹了近幾年在迭代函數(shù)方程方面的研究成果. 迭代函數(shù)方程作為現(xiàn)實世界中抽象出來的一種十分重要的模型，具有廣泛的現(xiàn)實意義和應用背景，一直受到數(shù)學家們的廣泛關注.在實驗中常常通過對初始狀態(tài)到當前狀態(tài)的記錄

3、，來分析系統(tǒng)運動的規(guī)律.迭代函數(shù)方程是函數(shù)復合與迭代的產(chǎn)物，和微分方程一樣都是函數(shù)方程的特殊類型.準確地講，迭代函數(shù)方程就是由未知函數(shù)和復合運算構成的恒等式.關于平面映射的不變曲線可化為等價的迭代函數(shù)方程解決.它在離散動力系統(tǒng)的周期穩(wěn)定性理論中扮演著重要的角色，研究平面映射的不變曲線的存在性具有重要的意義.本文的第二章討論了三類平面映射的解析不變曲線，用優(yōu)級數(shù)方法討論了不變曲線迭代函數(shù)方程解析解的存在性.以前在這方面的工作要求未知函數(shù)在

4、其不動點處的線性化特征值不在單位圓周上或在單位圓周上但滿足Diophantine條件.我們突破了Diophantine條件的限制，在α在單位圓周上但不滿足Diophantine條件的情形，用比Diophantine條件更弱的條件——Brjuno條件給出了解析解結果. 迭代是自然界乃至人類生活中的一種普遍現(xiàn)象.迭代泛函微分方程與常微分方程有很大的不同.這種方程的時滯不僅依賴于時間而且依賴于狀態(tài)甚至狀態(tài)的導數(shù).進入80年代以來，人們