托普利茲方程組的基于嵌入法的預(yù)處理矩陣.pdf

1、托普利茲(Toeplitz)系統(tǒng)在數(shù)學(xué)、科學(xué)計(jì)算和工程學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用, 例如, 求解偏微分方程, 卷積類型積分方程的數(shù)值解, 統(tǒng)計(jì)上的靜態(tài)的自回歸時(shí)間數(shù)列問題, 控制論上的最優(yōu)化問題, 以及圖象處理領(lǐng)域里如何實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)辨識(shí)問題中的信號(hào)處理和圖象恢復(fù)問題等等都可以轉(zhuǎn)化為托普利茲方程組或包含托普利茲方程組Tx = b以及最小二乘問題min kb ? Txk2的求解問題。
　　 本文主要考慮用預(yù)處理共軛梯度法求解托普利茲方程組和B

2、TTB方程組, 以及用預(yù)處理共軛梯度法求解托普利茲最小二乘問題和BTTB最小二乘問題。利用嵌入法結(jié)合卷積核構(gòu)造預(yù)處理矩陣, 使得預(yù)處理矩陣對(duì)非負(fù)的生成函數(shù)都有定義, 推廣了前人的結(jié)果。數(shù)值結(jié)果表明, 對(duì)于BTTB系統(tǒng)和BTTB最小二乘問題, 運(yùn)用嵌入法構(gòu)造的預(yù)處理矩陣的效率高于塊循環(huán)預(yù)處理矩陣。在這個(gè)計(jì)算的過程中主要應(yīng)用一維和二維的快速傅立葉變換以及它們的逆變換。
　　 本研究分為三個(gè)部分：第一章介紹本文的研究背景以及總結(jié)前人得

3、到的一些研究成果, 包括托普利茲矩陣, BTTB矩陣的定義以及它們的生成函數(shù), 同時(shí)也給出與本文有關(guān)的一些符號(hào)、基本概念和基本定理. 最后介紹托普利茲和BTTB最小二乘問題的預(yù)處理共軛梯度法的研究背景；第二章, 詳細(xì)討論托普利茲方程組和BTTB方程組的預(yù)處理共軛梯度法。重點(diǎn)證明基于BTTB矩陣的分解構(gòu)造的預(yù)處理矩陣與嵌入構(gòu)造的預(yù)處理矩陣是等價(jià)的. 從而用嵌入法構(gòu)造的預(yù)處理矩陣是有效的預(yù)處理矩陣。 數(shù)值例子表明本文所構(gòu)造的預(yù)處理矩陣比通常