PDE離散方程組和鞍點問題的預處理方法.pdf

1、本文主要使用對稱正定矩陣、M-矩陣、H-矩陣、嚴格對角占優(yōu)矩陣以及帶狀矩陣等知識和約束預處理技術、Krylov子空間方法、對角補償約化方法、不完全LU分解方法、HSS迭代方法、PHSS迭代方法、AHSS迭代方法、增廣拉格朗日方法、多乘許瓦茲方法以及稀疏近似逆預處理技術等方法得到了有關求解PDE離散方程組及大型稀疏鞍點系統(tǒng)的預處理技術。本文主要獲得了如下成果：
　　 基于不完全LU分解方法以及對角補償約化方法，本文設計了一類新的約

2、束預處理因子，應用這類預處理子求解大型稀疏對稱正定系統(tǒng)并且從理論上驗證了相關迭代方法的收斂性。在數值求解中，使用這類約束預處理子加速Krylov子空間迭代方法，例如：PCG迭代方法、GMRES迭代方法及BiCGSTAB迭代方法等，求解亥姆霍茲方程及泊松方程，通過與已有結論進行數值比較，從迭代數及求解時間方面驗證了本文提出的約束預處理因子的有效性及精確性。
　　 為了求解廣義鞍點問題，基于HSS、PHSS及AHSS方法，本文提出了

3、PAHSS迭代方法。在理論方面驗證了PAHSS迭代方法對任意迭代參數都是無條件收斂的，并且詳細地研究和討論了相關預處理矩陣的譜的分布情形。在數值實驗中，使用PAHSS迭代方法作為預處理子加速Krylov子空間方法求解廣義鞍點問題，通過與AHSS迭代方法進行數值比較，從迭代數及求解時間方面進一步驗證了本文的PAHSS預處理因子的有效性及實用性。
　　 為了求解離散混合型時諧Maxwell方程，本文提出了兩類預處理因子：增廣拉格朗日

4、基塊三角預處理因子及多乘塊預處理因子。增廣拉格朗日基塊三角預處理因子是根據增廣拉格朗日基方法提出的，在文中，應用增廣拉格朗日基塊三角預處理因子預處理求解鞍點問題，對相關預處理矩陣的譜分布情形做了詳細的研究。在數值實用中通過使用增廣拉格朗日基塊三角預處理因子預處理Krylov子空間方法，成功地驗證了這類預處理子的有效性。根據多乘塊方法或多乘許瓦茲方法，本文提出了多乘塊預處理因子，應用多乘塊預處理因子求解鞍點問題并且對相關預處理矩陣的譜做了

5、詳細的分析和研究。在數值實驗中，針對任意波數的離散型混合時諧Maxwell方程，應用多乘塊預處理技術預處理Krylov子空間方法，從迭代數和求解時間方面與已有的塊對角及兩類塊三角預處理因子做了比較，數值結果進一步驗證了多乘塊預處理技術的優(yōu)越性。
　　 本文使用嚴格對角占優(yōu)五對角矩陣逆的上界估計作為近似逆預處理因子對Toeplitz系統(tǒng)進行了有效地求解；然后對嚴格對角占優(yōu)七對角矩陣的逆元素的上下界做了估計，并且，當研究的矩陣為嚴格