非線性偏微分方程求解和對(duì)稱約化.pdf

1、本文根據(jù)數(shù)學(xué)機(jī)械化思想，以符號(hào)計(jì)算軟件為工具，研究了非線性發(fā)展方程的求解問(wèn)題，提出和改進(jìn)了一些求解非線性發(fā)展方程的方法，并在符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple上予以機(jī)械化實(shí)現(xiàn)．同時(shí)討論了高維非線性方程的對(duì)稱約化問(wèn)題，給出了求Lax可積系統(tǒng)的Lie變換群的直接法的群論解釋?zhuān)M(jìn)而改進(jìn)了該方法． 第一章介紹了孤立子理論，數(shù)學(xué)機(jī)械化與符號(hào)計(jì)算，非線性發(fā)展方程(組)精確求解的歷史和發(fā)展現(xiàn)狀以及微分方程的對(duì)稱理論，同時(shí)介紹了國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這些學(xué)科領(lǐng)域所取

2、得的成果．最后介紹了本文的主要工作． 第二章主要闡述了求解非線性偏微分方程(組)的AC=BD模式，C-D對(duì)理論的基本內(nèi)容和思想．基于AC=BD理論和微分偽帶余除法，提出了一個(gè)直接構(gòu)造算子C的算法．利用該算法得到的變換C不僅涉及到原方程的因變量，還涉及到自變量．該算法不僅可以處理連續(xù)系統(tǒng)，還可以處理離散系統(tǒng)．通過(guò)舉例發(fā)現(xiàn)已存在的Backlund變換，Cole-Hopf變換，函數(shù)展開(kāi)法，樓直接法，Burgers方程展開(kāi)法都是這個(gè)算法

3、的典型范例．并以此為基礎(chǔ)，將樓直接法推廣應(yīng)用到微分．差分系統(tǒng)中去．最后將AC=BD理論應(yīng)用于非線性偏微分方程的對(duì)稱分析，豐富了AC=BD理論． 第三章基于將非線性發(fā)展方程精確求解代數(shù)化，算法化，機(jī)械化的指導(dǎo)思想和．AC=BD理論，針對(duì)行波解的計(jì)算問(wèn)題，首先提出了三Riccati方程展開(kāi)法，并將其進(jìn)一步推廣．分別應(yīng)用到高階Schrodinger方程和經(jīng)典的Boussinesq方程，得到了更豐富的精確解．其次提出了tanh-sech

4、組合法，以(2+1)-維Burgers方程為例，驗(yàn)證了該方法的有效性．最后對(duì)求解微分-差分方程的雙曲函數(shù)展開(kāi)法作了進(jìn)一步推廣，將其應(yīng)用于求解(1+1)-維Toda晶格方程和Volterra品格方程，得到了新的精確孤波解. 第四章以求非線性發(fā)展方程的非行波解為目的，首先將古典Lie對(duì)稱方法與新的構(gòu)造性算法相結(jié)合，研究了(2+1)-維非線性立方Schrodinger方程和Davey-Stewartson方程，獲得了部分新形式解．其次

5、將求非線性發(fā)展方程精確解的廣義射影Riccati方程法與求對(duì)稱變換群的樓直接法相結(jié)合，研究了(2+1)-維色散長(zhǎng)波方程，得到了一些新的類(lèi)孤波解． 第五章考慮高維非線性發(fā)展方程及其Lax對(duì)的古典Lie對(duì)稱約化問(wèn)題．分別給出了(2+1)-維Konopelchenko-Dubrovsky方程，色散長(zhǎng)波方程和五階Sawada-Kotera方程及其Lax對(duì)的對(duì)稱約化．通過(guò)比較約化的方程和約化的Lax對(duì)的相容性條件，發(fā)現(xiàn)對(duì)于某些方程及其La