偏微分方程式之求解

1、第六章第六章偏微分方程式之求解偏微分方程式之求解在化工的領(lǐng)域中，有不少程序之動態(tài)是由以偏微分方程式(Partialdifferentialequation；PDE)所描述的，例如熱與質(zhì)量在空間中的傳遞等。這些用以描述實際問題的PDE，除非具有某些特定的方程式型態(tài)及條件，否則甚難以手算的方式找出解析解。而在數(shù)值求解方面，最常被采用的方法為有限差分法(finitedifference)何有限元素法(finiteelement)。然對于某些不

2、熟悉數(shù)值分析及程序編寫的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系統(tǒng)動態(tài)是相當(dāng)不容易的，更遑論進(jìn)一步的設(shè)計與分析了。值得慶幸的是，MATLAB的環(huán)境中提供了一個求解PDE問題的工具箱，讓使用者得以利用簡單的指令或圖形接口工具輸入欲解的PDE，并求解。使得PDE之?dāng)?shù)值解在彈指之間完成，使用者不在為數(shù)值法所苦惱，輕松掌握偏微分方程式系統(tǒng)的動態(tài)，并可進(jìn)一步進(jìn)行后續(xù)之設(shè)計工作。本章將以循漸進(jìn)的方式，介紹PDE工具箱及其用法，并以數(shù)個典型的化

3、工范例進(jìn)行示范，期能使初學(xué)者很快熟悉PDE工具箱，并使用它來設(shè)計與分析以偏微方方程式所描述的程序系統(tǒng)。6.1偏微分方程式之分類偏微分方程式之分類偏微分方程式可根據(jù)其階數(shù)(der)，線性或非線性型態(tài)，以及邊界條件進(jìn)行分類。6.1.1依階數(shù)的分類依階數(shù)的分類偏微分方程式是以偏微分項中之最高次偏微分來定義其階數(shù)，例如：一階偏微分方程式：0??????yuxu二階偏微分方程式：032222??????????????????yuxuyuxu三階

4、偏微分方程式：02233?????????????????????yuxuyxuxu6.1.26.1.2依非線性程度分類依非線性程度分類熱傳導(dǎo)或擴(kuò)散方程式tuxu?????22?fuauctud~~)~(~????????雙曲線型波動方程式042??acb22222tuxu??????fuauctud~~)~(~22????????注：二維系統(tǒng)之運(yùn)操作數(shù)之定義為?jyix???????6.1.36.1.3起始條件和邊界條件的分類起始條件

5、和邊界條件的分類為了能獲得偏微分方程式之解答，其起始條件和邊界條件可依其特性區(qū)分為三類。現(xiàn)以一維之動態(tài)熱傳遞方程式(拋物線型偏微分方程式)22xTtT??????為例，進(jìn)一步說明如何區(qū)分這些邊界條件及起始條件(ConstantinidesMostoufi1999)。(i)第一類：DirichletCondiction若依變量(T)本身，在某個獨(dú)立變量值時，被指定，則此條件稱為DirichletCondiction，亦稱為essentia