孤子理論若干問題研究.pdf

1、本文圍繞孤子理論的Hirota直接方法，擾動，對稱，相似解等問題做了以下三方面的主要工作： 1、首先研究了雙線性算子的一些性質(zhì)，得到了在對數(shù)變換意義下KdV類的雙線性方程所直接相對應(yīng)的非線性pde(即過渡方程)的一些性質(zhì)。利用這些性質(zhì)，本文首次得出了線性項非空的多項式形式的原方程與相應(yīng)的過渡方程之間的線性項非空的多項式形式的變換的具體可能形式，并構(gòu)造例子給以證實；得到了任意給定的線性項非空的多項式形式非線性pde具有線性項非空的

2、多項式形式變換的一些必要條件。如果所給定的線性項非空的多項式形式的非線性PDE能化成KdV類的雙線性方程，我們可以發(fā)現(xiàn)這個原方程線性部分算子與其相對應(yīng)的KdV類的雙線性方程中的雙線性算子的關(guān)系，從而直接寫出該方程所對應(yīng)的雙線性方程。這些結(jié)果使我們對多項式形式的線性項非空的KdV類的非線性PDE有直觀的了解，從而能直接的改進一些文獻的結(jié)果。 2、對一階非線性擾動方程的情形，用泰勒級數(shù)關(guān)于擾動參數(shù)ε在零點附近直接展開方法推導(dǎo)了該擾動

3、方程漸近解析解所應(yīng)具有的條件等式。通過這個條件等式，我們就有可能獲得一些變換，這些變換把給定的未擾動方程的解析解直接的映成擾動方程的漸近解析解。為了獲得更多的這類變換，我們引入了Lie-Baclund(LB)對稱，從而利用可能存在的未擾動方程的遞歸算子和LB對稱來構(gòu)造大量的此類變換，最終從未擾動方程的精確解出發(fā)，通過這些變換，直接獲得一大批的漸近解析解。擾動的KdV方程和擾動的Burgers方程將被作為例子給出。至于高階的情形，我們僅給

4、出理論上的一些推導(dǎo)結(jié)果和一個簡單的例子。值得注意的是，一階情形與高階情形的理論結(jié)果的推導(dǎo)與變換的計算無須用到任何的群論知識。另外我們用Hirota直接方法研究了一種擾動的KdV方程的N-孤立了解，并研究了擾動情形下N-孤立了解在的圖像情況。 3、對Broer-Kaup(BK)方程組所得到的單一方程作了經(jīng)典的李對稱相似約化，并給出部分相似解。對其中一類特殊的情形，通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)了BK方程組的相似解與著名的Burgers方程之間