正實(shí)參數(shù)McMullen函數(shù)族的動力系統(tǒng).pdf

1、Riemann球面上復(fù)解析動力系統(tǒng)的研究是許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)工作者感興趣的課題，它起源于上世紀(jì)初，P.Fatou和G.Julia受Newton迭代法以及Mobius變換群的子群的極限集的啟發(fā)獨(dú)立地作了系列研究，形成了Riemann球面上復(fù)解析動力系統(tǒng)的研究思想和經(jīng)典的Fatou-Julia理論.近幾十年來，電子計(jì)算機(jī)飛速發(fā)展給研究者提供了有效的工具，使得這一領(lǐng)域的研究方興未艾.借助于快速計(jì)算和精確模擬，研究者可以更直觀地觀察到Julia集

2、漂亮豐富而復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，更準(zhǔn)確的把握動力學(xué)性質(zhì)，很多構(gòu)想因此而實(shí)現(xiàn)，并進(jìn)一步促進(jìn)這一學(xué)科的發(fā)展，使之成為復(fù)分析的主要研究方向之一.許多國際上著名的數(shù)學(xué)家如A.Douady，J.H.Hubbard，D.Sullivan，W.Thurston，I.N.Baker和J-C.Yoccoz等均在這一研究領(lǐng)域作出了杰出貢獻(xiàn)。
　　我們根據(jù)軌道極限對初始狀態(tài)的敏感性把Riemann球面劃分成兩類集合：如果迭代序列.{fn}在某點(diǎn)z是Monte

3、l意義下的正規(guī)族，則稱點(diǎn)z是正規(guī)的，所有正規(guī)點(diǎn)形成的集合為Fatou集，其余集為Julia集，它同時也是所有排斥周期點(diǎn)集的閉包。
　　關(guān)于Fatou集，P.Fatou曾經(jīng)猜想，對有理函數(shù)來說，不存在游蕩的Fatou連通分支，后來Sullivan引進(jìn)了有理函數(shù)的擬共形形變證明了這個猜想，并對Fatou分支進(jìn)行了分類，從而有理函數(shù)在Fatou集上的動力系統(tǒng)有了完整的刻畫[71].此后，Shishihira利用擬共形手術(shù)給出了有理函數(shù)F

4、atou循環(huán)域個數(shù)的精確的上界估計(jì)[68]。
　　借助于Carathéodory定理，若Julia集擁有良好的拓?fù)湫再|(zhì)如局部連通性等則可以繼承Fatou域中有序的動力模型，因此，有理函數(shù)Julia集局部連通性的研究是很關(guān)鍵的工作，對于探索動力學(xué)平面進(jìn)一步的結(jié)構(gòu)非常重要.許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)工作者傾注于這個課題：如多項(xiàng)式情況下Douady-Hubbard的研究[30]；Yoccoz[57]利用拼圖技術(shù)證明了當(dāng)二次多項(xiàng)式的所有周期點(diǎn)都是排

5、斥周期點(diǎn)并且函數(shù)不是無窮可重整的時對應(yīng)的Julia是局部連通的；Douady找到了一個無窮可重整的二次多項(xiàng)式，其Julia集不是局部連通的[57]；Roesch和尹永成老師證明了多項(xiàng)式的有界吸性或拋物Fatou分支的邊界是一條簡單閉曲線，進(jìn)一步，若邊界上沒有拋物點(diǎn)和回歸的臨界點(diǎn)則邊界是一個擬圓周[67].Roesch[66]研究了三次多項(xiàng)式求根過程中Newton迭代公式的動力系統(tǒng)，證明除了一些特殊情況外Julia集都是局部連通的；繼雙曲

6、和次雙曲的有理函數(shù)之后[32][42]，譚蕾和尹永成老師[73]證明了更廣的幾何有限有理函數(shù)Julia集的局部連通性；Carleson-Jones-Yoccoz[15]證明了半雙曲多項(xiàng)式的Fatou分支都是John域從而是局部連通的，Mihalache[54]把這一結(jié)果推廣到半雙曲的有理函數(shù)。
　　在研究多項(xiàng)式的局部連通性時最重要的工具是“Branner-Hubbard-Yoccoz”拼圖，對于有理函數(shù)，找到合適的拼圖比較困難，有

7、時甚至找不到拼圖，人們一般選擇某類特殊的有理函數(shù)進(jìn)行研究，到目前為止用拼圖方法研究有理函數(shù)Julia集局部性的例子有[66]及[63]。
　　作為對最簡單的m次單項(xiàng)式z→zm的有理擾動，McMullen研究了有理函數(shù)
　　Fλ(z)=zm+λ/ze，λ∈C*=C＼{0}，1/m+1/e<1.(0.0.1)的Julia集，證明當(dāng)參數(shù)λ充分小時Fλ的Julia集是Cantor環(huán)[52].這種類型的Julia集是多項(xiàng)式不具備的，此

8、外，當(dāng)1/m+1/e≥1時Cantor環(huán)的情況也不會發(fā)生[27].之后，這族函數(shù)的動力學(xué)性質(zhì)引起了很多研究者的興趣，如Devaney及其合作者[8，9，18-23，25-29]，Roesch[65]，Steinmetz[69，70]等.他們發(fā)現(xiàn)并證明了這族函數(shù).Julia集的豐富拓?fù)湫再|(zhì)，并對參數(shù)空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行了細(xì)致研究.這些文章中絕大多數(shù)針對m=e的情況作了討論，也就是
　　Fλ(z)=zm+λ/zm，λ∈C*，m≥2，(0.0.

9、2)此時函數(shù)族具有更加豐富的對稱性。
　　根據(jù)Devaney，Look以及Uminsky[27]的研究結(jié)果，當(dāng)自由臨界軌道逃逸到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞時，(0.0.1)或(0.0.2)中的有理函數(shù)Fλ的Julia集要么是Cantor集，要么是Cantor環(huán)，要么是Sierpinski曲線(逃逸三分定理).在該函數(shù)族中，某些臨界有限的情況也對應(yīng)著Sierpinski曲線的Julia集[18，25].以上均對函數(shù)的臨界軌道作了限制使其具有相對簡單

10、的特性.然而，當(dāng)臨界點(diǎn)軌道比較復(fù)雜比如回歸的時會怎樣?Julia集何時會再度成為一條Sierpinski曲線?在[24]中，Devaney提出了一個開放問題：當(dāng)Julia集不是Cantor集時，(0.0.2)中函數(shù)Fλ無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直接吸引盆的邊界是否一直是一條Jordan曲線?此外，當(dāng)Julia集是連通的時它是否會局部連通呢?注意到連通性和局部連通性是一個集合成為一條Seirpinski曲線的必要條件。
　　當(dāng)參數(shù)λ是一個復(fù)數(shù)且m=

11、e≥3時，F(xiàn)λ的Fatou集和Julia集類似的拓?fù)湫再|(zhì)在[63]中己作討論，該文中利用拼圖的方法證明了Julia集的局部連通性，但當(dāng)參數(shù)是正實(shí)數(shù)時不能構(gòu)造類似的拼圖，所以正實(shí)參數(shù)情形我們需要另作討論.本文討論正實(shí)參數(shù)下(0.0.1)中有理函數(shù)Fλ的Julia集和Fatou分支的拓?fù)湫再|(zhì)，并且不局限于m=e.證明了當(dāng)λ>0時，如果Fλ的Julia集不是一個Cantor集，則無窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞的直接吸引盆Bλ始終是一個Jordan區(qū)域，這不僅在正

12、實(shí)參數(shù)下回答了Devaney對于(0.0.2)的問題，還把結(jié)果推廣到(0.0.1)的情形.文中也討論了Bλ進(jìn)一步的性質(zhì).除了邊界上有拋物不動點(diǎn)這種情況外，單連通的Bλ都是一個擬圓盤.此外，如果Fλ的Julia集是連通的則它一定是局部連通的且所有的Fatou分支都是Jordan區(qū)域.我們得到關(guān)于Fλ的Julia集拓?fù)涓?xì)致全面的刻畫，給出Julia集何時為Sierpinski曲線的完整描述。
　　式(0.0.1)中的有理函數(shù)Fλ(z

13、)通過z→(1/λ)zd半共軛到
　　fη(z)=ηzm(1+1/z)d，1/m+1/e<1.(0.0.3)這里η=λm-1，d=m+e.我們通過研究fη的動力系統(tǒng)來導(dǎo)出Fλ動力系統(tǒng)的相應(yīng)性質(zhì)在操作上更加可行，這是由于有理函數(shù)fη只有一個自由臨界點(diǎn)，該自由臨界點(diǎn)是Fλ的d個臨界點(diǎn)在z→(1/λ)zd下的像。
　　當(dāng)fη限制在正實(shí)軸上時，記它與直線y=x正好相切時對應(yīng)的參數(shù)為η0；當(dāng)1/m+1/e<1時，存在唯一的參數(shù)礦η*∈

14、(0，η0)使得臨界值的像正好等于fη(x)-x的較大零點(diǎn).記Bη是∞在fη下的直接吸引盆，我們首先確定Bη何時為Jordan區(qū)域。
　　定理1.如果η>η0，那么aBη=J(fη)是一個Cantor集.如果0<η≤η0，那么aBη是一條Jordan曲線。
　　定理1在實(shí)參數(shù)情況下回答了Devaney在[24]提出的問題，并把結(jié)論推廣到了m≠e的情形.事實(shí)上當(dāng)Bη是單連通時除了個別情況外它具有更好的幾何性質(zhì)。
　　定理

15、2.如果0<η<η0，則Bη是一個擬圓盤.如果η=η0，則Bη不是擬圓盤。
　　對于整個Julia集，我們知道η>η0時J(fη)是Cantor集，當(dāng)0<η<η*時J(fη)是Cantor環(huán)，當(dāng)?shù)Vη*≤η≤η0時J(fη)是連通的，對于最后一種情況，
　　定理3.當(dāng)?shù)Vη*≤η≤η0時，J(fη)是連通且局部連通的，當(dāng)?shù)Vη*<η≤η0時，每一個Fatou分支都是一個Jordan區(qū)域。
　　進(jìn)一步，我們對J(fη)成為Si

16、erpinski曲線給出一個完整的刻畫，首先證明1/m+1/e<1時每一個η∈[η*，η0]都對應(yīng)一個參數(shù)c=c(η)∈[-2，1/4]使得J(fη)包含了一個二次多項(xiàng)式pc(z)=z2+c的Julia集的嵌入像.從而得到，
　　定理4.設(shè)礦η*≤η≤η0，則J(fη)是一條Sierpinski曲線當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下任一條件
　　(i)η≠η*且c(η)不落在任何.Mandelbrot集雙曲分支的閉包內(nèi)；
　　(ⅱ)c(

17、η)落在Mandelbrot集周期大于1的主干雙曲分支內(nèi)；
　　(iii)c(η)是某個周期大于1的主干雙曲分支的根。
　　關(guān)于Mandelbrot集的主干雙曲分支以及它的根的概念將在第四章中作介紹。
　　至此我們已經(jīng)知道Bη在單連通的情況下是Jordan域，其邊界是一條Jordan閉曲線，并且除了個別情況(η=η0)外這個單連通的Bη還是擬圓.如果Bη不是單連通的，則必然是無窮連通的，對應(yīng)著Julia集是Cantor

18、集的情形，此時Bη作為唯一的Fatou分支會有怎樣的性質(zhì)?鑒于擬圓盤是單連通情形下的一致域，我們猜想Fλ的Julia集是Cantor集時，Bλ也是一致域。
　　為了研究無窮連通的一致域，我們考慮一類典型的集合一自相似集，它是有限個壓縮相似映射組成的迭代系統(tǒng)下的吸引子.我們有：
　　定理5.Riemann球面上具有強(qiáng)開集條件的自相似集的余集是一致域。
　　隨后我們研究更廣的一類集合-自共形集，它們與自相似集的唯一區(qū)別在于

19、迭代函數(shù)系統(tǒng)由有限個共形映射組成，同樣強(qiáng)開集條件也能夠使得其余集為一致域。即：
　　定理6.Riemann球面上具有強(qiáng)開集條件的自共形集的余集是一致域。
　　在此基礎(chǔ)上回到McMullen函數(shù)族，當(dāng)它的Julia集是Cantor集時實(shí)際上是滿足強(qiáng)開集條件的自共形集，不僅如此，其吸引子Julia集還是不變的.我們有：
　　推論7.對于(0.0.1)中的函數(shù)Fλ，若J(Fλ)為Cantor集，則Bλ是一致域。
　　事