四維系統(tǒng)中的翻轉(zhuǎn)同宿分支問題.pdf

1、由于同宿分支問題在廣大學(xué)科中的應(yīng)用性，近半個(gè)世紀(jì)以來，其研究獲得了極大的發(fā)展(見參考文獻(xiàn))。其中同宿翻轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，即軌道翻轉(zhuǎn)和傾斜翻轉(zhuǎn)，從十幾年前開始就已經(jīng)成為了熱點(diǎn)之一。因?yàn)榘殡S著通有性條件的破壞，倍同宿分支和倍周期分支有可能出現(xiàn)，從而又可能導(dǎo)致馬蹄動力系統(tǒng)出現(xiàn)，這里倍同宿(倍周期)分支是指把2<'n-1>-同宿軌道(周期軌道)變?yōu)?<'n>-同宿軌道(周期軌道)的余維一分支，因此文[6，43-45，59，80，81，109]詳細(xì)討論了

2、倍同宿分支耦合和倍周期分支耦合。但是由于翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象的復(fù)雜性，到目前為止，對于余維三及以上的同宿分支，例如共振軌道翻轉(zhuǎn)和共振傾斜翻轉(zhuǎn)，結(jié)果還尚不完善。 本論文主要討論了一個(gè)具有實(shí)鞍點(diǎn)的四維常微分系統(tǒng)，在一定條件下的余維三和余維四翻轉(zhuǎn)同宿分支。第一章我們主要研究一類余維三的同宿雙軌道翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象，證明了余維一的鞍結(jié)分支，倍同宿分支和倍周期分支的存在性及存在區(qū)域；并且指出在兩條鞍結(jié)分支曲線的交接處，一條余維二的三重周期軌分支將會出現(xiàn)；同時(shí)當(dāng)

3、一條同宿分支曲線和一條鞍結(jié)分支曲線相交時(shí)也可產(chǎn)生一條余維二的同宿倍周期分支。在此基礎(chǔ)上，我們還給出了1-周期軌道，1-同宿軌道，2<'n>-周期軌道和2<'n>-同宿軌道的存在性，存在數(shù)量和它們的共存性。在接下來的兩章中，分別考慮了主特征值共振和軌道切方向共振下的兩種余維四的一軌道翻轉(zhuǎn)和兩傾斜翻轉(zhuǎn)的同宿分支問題。我們指出在一定條件下系統(tǒng)最多存在一條1-周期軌道或者一條1一同宿軌道，并且它們不能共存；而當(dāng)此類條件被破壞時(shí)，余維一的鞍結(jié)分支

4、，倍同宿分支和倍周期分支；余維二的三重周期軌分支和同宿倍周期分支在特征值滿足2λ<,1>>λ<,2>>p<,2>或2λ<,1>>p<,2>>λ<,2>時(shí)仍然會發(fā)生。最后我們研究了在兩種同樣的特征值共振下的雙同宿軌道翻轉(zhuǎn)，即。。一型同宿軌道的分支。證明了在小參數(shù)位于特定的余維一曲面上時(shí)的雙同宿軌道的保存性。除此之外還推導(dǎo)出在雙同宿軌附近系統(tǒng)可分別存在兩條大1-周期軌道，一條大1-同宿軌道，一條大2-同宿軌道或者一條大2-周期軌道。對于以上

5、所獲結(jié)果，我們給出了相關(guān)分支圖像，清楚展示了各種分支曲線和相應(yīng)的n-周期軌道和n-同宿軌道的分布。本文使用的方法最初是文[117，121]提出，而后被[48-50，104]等廣泛采用：即通過復(fù)合一個(gè)定義在同宿軌鄰域內(nèi)的正則映射或者半局部映射和一個(gè)定義在系統(tǒng)奇點(diǎn)小鄰域內(nèi)的奇異映射來構(gòu)造Poincaré映射繼而得到易于研究的后繼函數(shù)，其中的正則映射是由一個(gè)變分系統(tǒng)的基解矩陣特別構(gòu)造的，而奇異映射則是由系統(tǒng)規(guī)范型解的線性部分構(gòu)造。通過本文的研