高維空間中的同宿環(huán)和異維環(huán)分支問題.pdf

1、本文主要研究四維空間中的具有雙軌道翻轉(zhuǎn)的同宿環(huán)分支問題,由具有1維不變子空間的對合所確定的3維反轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的異維環(huán)分支問題,以及近可積耦合非線性Schr(o)dinger(NLS)方程所對應的動力學系統(tǒng)的異宿軌線的存在性,具有偶的周期邊界條件的擾動NLS方程的孤立子(同宿軌線)的保存性及其相應的混沌性態(tài)問題. 第一章主要介紹了本論文的研究背景、意義及主要結(jié)果. 在第二章中研究了雙向分別沿強穩(wěn)定和強不穩(wěn)定方向趨于實鞍點的同宿

2、軌線的分支問題.由于通有性的喪失,這類問題變得非常復雜.本章證明了在參數(shù)空間的原點小鄰域內(nèi)存在余維1的同宿軌分支曲面和2重周期軌線分支曲面,同宿軌分支曲面與2重周期軌線分支曲面的交構(gòu)成了余維2的同宿軌與2重周期軌線分支曲面,同時得到了2個2重周期軌線分支曲面相交融合而成1個余維2的3重周期軌線分支曲面,指出了對任意k

3、用背景的動力系統(tǒng)都存在著異維環(huán),異維環(huán)的分支問題的研究也有著很重要的理論意義([47,48]).第三章研究了3維反轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的通有的異維環(huán)的分支問題,給出了同宿軌線分支、周期軌線和2重周期軌線分支的存在性條件和相應的分支曲面,并且還證明了異維環(huán)可以同時分支出1條周期軌線和1條同宿軌線. 第二章和第三章的研究方法相同,都是通過構(gòu)造Poincaré映射來求得分支方程.首先在平衡點的小鄰域內(nèi)選取兩個同宿或異宿軌線的橫截面,在平衡點小鄰域

4、內(nèi)給出具有盡可能多的不變流形被局部拉直的規(guī)范型表達式,再利用指數(shù)二分法以及推廣的Floquet方法在同宿或異宿軌線的正則鄰域建立局部活動坐標系,然后再復合導出Poincaré映射,從而獲得后繼函數(shù)和分支方程.這種方法是由文獻[29,33]引入,并由文獻[35,36]等作者改進而來的.與其它研究方法相比,本文采用的方法可以研究很廣泛的分支問題,而且分支方程具有較強的可計算性. 第四章研究了弱耦合非線性Schr(o)dinger系統(tǒng)

5、.運用二次擾動方法(第一次擾動運用Melnikov分析方法,第二次擾動運用不變流形的橫截相交性),證明了原系統(tǒng)的動力學系統(tǒng)在小參數(shù)擾動下可以分支出許多不同的異宿軌線,其中包括多條單獨的異宿軌線和一個2維異宿流形.運用貝克隆(b(a)cklund)變換和Lax對求得未擾NLS方程具有同宿于平面周期波解的大范圍的同宿軌線和連接由平衡點構(gòu)成的奇異環(huán)上某兩個平衡點的異宿軌線族.在獲得奇異環(huán)面鄰域內(nèi)的不變流形的基礎(chǔ)上,我們導出了耦合NLS方程的M