孤立子理論中的若干問題的研究及機械化實現(xiàn).pdf

1、該文研究了孤立子理論、可積系統(tǒng)、分?jǐn)?shù)微分形式中的若干問題: 第一章介紹了孤立子理論,數(shù)學(xué)機械化,Hamilton系統(tǒng)(反問題)以及分?jǐn)?shù)微分形式研究的歷史發(fā)展和現(xiàn)狀.同時介紹了一些關(guān)于這些學(xué)科的國內(nèi)外學(xué)者所取得的成果.第二章以AC=BD的理論模式為指導(dǎo),考慮了非線性偏微分代數(shù)方程(組)的精確解的構(gòu)造.給出了AC=BD理論的基本思想,C-D可積理論在微分方程求解中的應(yīng)用;然后通過具體的變換給出了構(gòu)造C-D對的算法,利用符號軟件Maple,給

2、出了利用AC=BD+R帶余除法構(gòu)造精確解的具體算法.最后討論具有任意階非線性項的非線性發(fā)展方程A的構(gòu)造法.第三章基于將非線性發(fā)展方程求解,代數(shù)化,算法化,機械化的指導(dǎo)思想,運用吳方法和符號計算為工具,考慮了非線性發(fā)展方程精確解的構(gòu)造.主要內(nèi)容為:1)運用改進的extended-tanh函數(shù)方法求解了廣義的耦合的Hirota-Satsuma KdV系統(tǒng)和耦合MKdV方程,求出了許多新的精確解;2)進一步改進了extended-tanh函數(shù)

3、方法,并將其應(yīng)用到帶有任意階非線性項的發(fā)展方程,同時求出了形式更為一般的精確解;3)提出了廣義的extended-tanh函數(shù)方法,并將其應(yīng)用到SLA方程的精確解構(gòu)造;4)提出了Complex-tan函數(shù)方法,并將其應(yīng)用于構(gòu)造精確解;5)擴展了Jacobi橢圓函數(shù)法,并將其應(yīng)用到求解(2+1)維色散長波方程;6)推廣了射影Riccati方程方法,構(gòu)造了Zakharov-Kuzentsov方程新的精確解;7)提出了廣義Riccati方程展

4、開法,求得了一類非線性發(fā)展方程的類孤立子解.第四章以符號計算軟件Maple和Mathematica為工具,改進了用推廣的齊次平衡法尋求非線性發(fā)展方程的Backlund變換的方法,分別研究了兩類非線性發(fā)展方程的Backlund變換和精確解:1)具有任意階非線性項的非線性發(fā)展方程的Backlund變換;2)變系數(shù)非線性發(fā)展方程的Backlund變換.第五章基于吳微分消元理論,討論了非線性偏微分代數(shù)方程的Painleve性質(zhì).首先給出了吳微分

5、消元的基本理論與算法,然后介紹了Painleve奇性分析的一般原理,同時介紹了一個驗證P-性質(zhì)的新算法,在Maple上編程實現(xiàn)了在不求通項公式的情況下,求出共振點,并利用吳微分消元理論最終判定非線性偏微分代數(shù)方程是否具有Painleve性質(zhì).Ⅰ第六章研究了無窮維Hamilton系統(tǒng)的反問題,1)一些數(shù)學(xué)物理中的Hamilton系統(tǒng)的正則表示;2)偏微分方程組的Hamilton正則系統(tǒng)的有序解析表示.3)Hamilton正則表示的一個機械