孤立子理論中若干精確求解方法的研究及應(yīng)用.pdf

1、本文以數(shù)學(xué)機(jī)械化思想為指導(dǎo),以計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)軟件為工具,研究了孤立子理論中若干重要的孤子方程的求解問題,提出和發(fā)展了一系列求解孤子方程的方法,并在符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica或Maple上予以機(jī)械化實(shí)現(xiàn).主要的工作如下:第一章介紹了孤立子理論和數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的歷史發(fā)展和現(xiàn)狀.同時(shí)介紹了一些關(guān)于這些學(xué)科的國內(nèi)外學(xué)者所取得的成果.第二章介紹了張鴻慶教授提出的構(gòu)造非線性偏微分方程(組)的精確解AC=BD的模式及其應(yīng)用.通過實(shí)例說明了這一

2、模式的使用方式和適用范圍;最后討論具有任意階非線性項(xiàng)的孤子方程A的構(gòu)造法.第三章改進(jìn)了齊次平衡法,用于獲得非線性項(xiàng)具有任意次冪的孤子方程(組)和具有變系數(shù)的孤子方程(組)的Backlund變換,進(jìn)而得到該方程的孤波解和類孤波解;用Painlcvc截?cái)嗾归_法考慮了一個(gè)廣義的非線性薛定諤方程的Backlund變換和精確解.第四章推廣了cxtcndcd-tanh函數(shù)方法和提出了廣義的Riccati方程展開法.利用推廣的cxtcndcd-tan

3、h函數(shù)方法獲得了一些帶有任意階非線性項(xiàng)的發(fā)展方程(組)的形式更為一般的精確解;以(2+1)-維爆破孤子方程和(3+1)-維Jumbo-Miwa方程為例,說明了廣義的Riccati方程展開法的有效性,并獲得了這兩個(gè)方程豐富的精確解(孤波解,類孤波解,周期解,類周期解和有理解).第五章首先推廣了射影Riccati方程方法獲得了兩個(gè)高階孤子方程和一個(gè)孤子方程組新的精確行波解;其次提出了求解孤子方程更一般的精確解的廣義射影Riccati方程方法

4、,利用該方法獲得了廣義的(2+1)-維薛定諤方程豐富的精確解.第六章結(jié)合Q-變形雙曲函數(shù),廣義的射影Riccati方程展開法和復(fù)包絡(luò)猜測(cè)方法,提出了廣義的Q-變形雙曲函數(shù)方法.然后利用這一方法研究了三個(gè)具有重要物理意義的非線性薛定諤方程:1)研究了在光孤子通訊中起重要作用的均勻色散管理光纖系統(tǒng)方程,進(jìn)而分析和計(jì)算機(jī)模擬了包絡(luò)孤波的傳播和碰撞情況;2)研究了高階非線性薛定諤方程,發(fā)現(xiàn)了該方程許多新的更廣義的精確解,特別是發(fā)現(xiàn)了新的具有W-