高振蕩問題的高效數(shù)值算法研究及實現(xiàn).pdf

1、高振蕩問題廣泛出現(xiàn)于科學工程計算諸多領(lǐng)域.它同時也是一類被公認為非常難的國際熱點前沿研究課題，存在許多挑戰(zhàn)性問題.近幾十年來，這類問題也獲得了眾多專家學者的極大關(guān)注.本篇博士論文由兩部分組成.第一部分研究幾類高振蕩奇異積分的計算問題，為了克服奇異性和高振蕩特征帶來的困難，我們在現(xiàn)有方法的基礎(chǔ)上采用不同的變換或技巧，設(shè)計可行的方法來獲取高效的積分法則;第二部分我們利用微分方程技巧推導了幾類超幾何函數(shù)關(guān)于參數(shù)的導數(shù)，這些導數(shù)不僅在高振蕩奇異

2、積分的計算中有著重要的應(yīng)用，而且在數(shù)學、物理或相關(guān)領(lǐng)域中扮演著非常重要的角色.鑒于此，本文具體工作組織如下:
　　第一章分別從高振蕩積分、高振蕩常微分或偏微分方程、高振蕩積分方程幾個方面簡單介紹了高振蕩問題的研究背景和研究意義.
　　第二章對于幾類高振蕩積分，我們回顧了迄今為止發(fā)展的數(shù)值積分方法，如漸近方法、Filon方法、Filon型方法、Levin方法、Levin型方法、廣義積分法則、數(shù)值最速下降法以及其它數(shù)值方法.

3、r>　　第三章，我們給出三種方法計算一類高振蕩代數(shù)奇異積分.一種是先把這類積分通過換元轉(zhuǎn)化為區(qū)間[1，∞）上的無窮積分，然后根據(jù)極限和復積分法的思想，將數(shù)值最速下降法推廣到這類無窮積分的計算，并作出了誤差分析和給出了相應(yīng)的漸近階.這種方法具有成本低收斂速度快的優(yōu)勢.然而，它的不足在于要求函數(shù)f(x)在某個區(qū)域內(nèi)解析.接下來我們考慮放寬這種限制條件.我們首先把原積分經(jīng)過兩次代換轉(zhuǎn)化到標準區(qū)間[-1，1]上，然后將轉(zhuǎn)化后的積分展開為關(guān)于w的

4、負冪次的漸近級數(shù).基于這個漸近級數(shù)，我們提出兩種方法.一種是Filon型方法.另一類是借用特殊Hermite插值（只需在端點1上導數(shù)插值，其它Clenshaw-Curtis點上線性插值）以及遞推關(guān)系式的Clenshaw-Curtis-Filon型方法，并討論了這類方法的收斂性和誤差階.這種Clenshaw-Curtis-Filon型方法可經(jīng)過O(N log N)次運算量快速穩(wěn)定實現(xiàn).后兩種方法只需f(x)在區(qū)間[0,1]上光滑即可.這些

5、方法具有共同特點:精度會隨著頻率w的增加迅速提高.
　　第四章，針對含有端點弱奇異性的高振蕩積分，我們分別提出了三種數(shù)值計算方法.第一種是在漸近展開式的基礎(chǔ)上，以x-a，b-x或兩者結(jié)合為底的冪函數(shù)作為基函數(shù)的Filon型方法.第二種，我們利用Chebyshev多項式作為基函數(shù)，應(yīng)用特殊的Hermite插值（需要在兩個端點a,b上導數(shù)插值，其它Clenshaw-Curtis點上線性插值），給出相應(yīng)的Clenshaw-Curtis-

6、Filon型方法，并作出了收斂性分析和給出了誤差界.第三種方法是基于解析延拓，首先設(shè)計合適的最速下降路徑，然后利用廣義Gauss Lagurre積分法則來高效實現(xiàn)的數(shù)值最速下降方法.這三種方法各有優(yōu)劣，相互補充.
　　第五章，我們設(shè)計一種Chebyshev展開式法計算一類振蕩或奇異積分.它們的核函數(shù)G(x)是代數(shù)型或?qū)?shù)型奇異性因式的乘積.這類方法是基于f的Chebyshev展開式，Chebyshev多項式的一些性質(zhì)以及振蕩因子e

7、iwx的Bessel-Chebyshev展開式提出來的.由于修正矩的遞推關(guān)系的向前遞推和向后遞推都是數(shù)值穩(wěn)定的，這使得算法的實現(xiàn)相當簡單.特別地，我們考慮了許多不同的核函數(shù)G(x)，這凸顯了這種方法應(yīng)用廣泛的優(yōu)勢.
　　第六章，基于對高斯超幾何微分方程和合流超幾何函數(shù)微分方程分別取參數(shù)的導數(shù)，我們提出一種有效的微分方程方法來推導高斯超幾何函數(shù)和Kummer合流超幾何函數(shù)關(guān)于參數(shù)的導數(shù)公式.特別地，借助這種微分方程方法，通過使用對s