對稱錐優(yōu)化問題的擾動分析.pdf

1、本論文主要建立對稱錐的變分分析并給出對稱錐優(yōu)化問題擾動分析的理論結(jié)果，主要內(nèi)容可概括如下： 1.第2章基于歐氏Jordan代數(shù)的性質(zhì)，研究了對稱錐的變分性質(zhì)。首先推導(dǎo)了對稱錐上投影算子B-次微分的計(jì)算公式以及對稱錐的切錐、二階切集的表達(dá)式。然后定義了對稱錐上的線性-二次函數(shù)，建立了線性-二次函數(shù)與對稱錐二階切集的支撐函數(shù)的關(guān)系。 2.第3章在前一章研究的基礎(chǔ)上，闡述了對稱錐優(yōu)化問題的擾動理論結(jié)果。首先證明了對稱錐具有外二

2、階正則性，從而給出對稱錐優(yōu)化問題無間隙的二階最優(yōu)性條件。其次引入對稱錐優(yōu)化問題兩種形式的強(qiáng)二階充分性條件，其中之一通過一線性-二次函數(shù)定義，另一個用二階切集的支撐函數(shù)定義。之后，對于上述兩種強(qiáng)二階充分條件重合的非凸對稱錐優(yōu)化問題，得到了下述條件的等價性：約束非退化條件下的強(qiáng)二階充分條件，KKT條件對應(yīng)的廣義方程的解的強(qiáng)正則性，KKT條件對應(yīng)的非光滑映射(簡稱KKT映射)的Clarke廣義微分的非奇異性，優(yōu)化問題局部最優(yōu)解的強(qiáng)穩(wěn)定性，以及

3、其他4條結(jié)論相互等價。特別地，對于凸對稱錐優(yōu)化問題，不需要任何假設(shè)，上述9條性質(zhì)均等價，且等價于KKT映射的B-次微分的非奇異性。最后，對于線性對稱錐優(yōu)化問題，首先刻畫了對偶嚴(yán)格約束規(guī)范與二階充分性條件的等價關(guān)系；然后證明了上述10條等價性質(zhì)與原始對偶約束非退化條件的等價性。 3.第4章具體推導(dǎo)了二階錐、半正定實(shí)對稱矩陣錐、半正定復(fù)Hermite矩陣錐以及半正定四元數(shù)Hermite矩陣錐二階切集的表達(dá)式，并證明了這四種情況下二階