歐幾里德算法及相關問題研究.pdf

1、本論文主要研究了歐幾里德算法及其相關的問題。
　　 在第一章,我們簡單介紹了歐幾里德算法及其應用。
　　 利用歐幾里德算法,可以判定正整數(shù)序列a1,…,am(11)個隨機的正整數(shù)兩兩互素的概率是1/ζ(m),其中ζ(.)是Riemann Zeta函數(shù)。這樣,在正整數(shù)a1,…,am中,有一個正整數(shù)ai與其他數(shù)都互素的概率是(1/ζ(2))

2、m-1。若存在一個自然數(shù)r(1≤r≤m)使得ar與序列中的其他數(shù)都互素,則稱1　　 在第二章中,我們進一步分析了W序列的性質(zhì)。我們證明對于整數(shù)n>1,m≥l,如果有一個素數(shù)在序列m+1,…,m+n中,那么這個序列是一個W序列。這樣,判定一個連續(xù)正整數(shù)序列是否是W序列,只需要考慮連續(xù)合數(shù)的情形。關于連續(xù)合數(shù),1969年,Grimm[17]猜想:如果m+1,…,m+n是連續(xù)合數(shù),那么存在n個不同的素數(shù)P1

3、,…,Pn使得m+j被pj(1≤j≤n)整除。這蘊含了n個連續(xù)合數(shù)的乘積,至少有n個不同的素因子。Grimm證明m>nn-1時,他的猜測成立。1971年,Erd(o)s和Selfridge[18]利用Hall[9]定理證明m>nπ(n)時,Grimm猜測成立。我們利用二項式以及高斯函數(shù)的性質(zhì)證明:當m>Пp≤nP[logpn]時,二項式系數(shù)(m+nn)有表示式(m+nn)=(m+1)…(m+n)/n/n!=Пni=1ai,其中ai(1≤

4、i≤n)滿足ai|(m+i),ai∈N,ai>1,gcd(ai,aj)=1,1≤i≠j≤n.
　　 注意到nπ(n)>Пp≤nP[logpn],這樣,我們細化了Erd(o)s和Selfridge的結果。
　　 在算術級數(shù)情形,1977年Langevin[27]證明:設n>1,gcd(a,b)=1,如果a+bi(i=1,…,n)都不整除Пp≤n-1 p[logp(n-1)],那么存在n個不同的素數(shù)P1,…,Pn使得a+bj

5、被pPj(1≤j≤n)整除。我們進一步證明:設n>1,ged(a,b)=1,如果a+bi(i=1,…,n)都不整除Пp≤n-1 p[logp(n-1)],那么Пni=1a+bi/i可以表示為Пni+1a+bi/i=A/B,其中A=Пni=1ai,gcd(A,B)=1,ai(1≤i≤n)滿足ai|(a+ib),ai∈N,ai>1,gcd(ai,aj)=1,1≤i≠i≤n.
　　 這樣,我們也細化了Langevin的結果。
　

6、　 利用非連續(xù)整數(shù)情形的w序列我們研究了Goldbach猜想與算術級數(shù)的最小素數(shù)問題之間的內(nèi)在關系。1742年,Goldbach猜想每個大于4的偶數(shù)2n是兩個素數(shù)的和。因為下面的情形是平凡的:對于無窮多偶數(shù)2p,2p=P+P(其中p是素數(shù)),由此我們給出Goldbach猜想的一個變體:每個大于6的偶數(shù)2n是兩個不同素數(shù)的和。這蘊含了對于大于5的整數(shù)n,存在一個自然數(shù)r(1≤r≤k=π(n-1)-1)使得2n-pr與2n-p1,…,2n

7、-pr-1,2n-pr+1,…,2n-pk都互素,其中p1,…,pr-1,Pr,Pr+1,…,pk是小于n的全體奇素數(shù),而pr滿足gcd(pr,n)=1.也就是說2n-p1,…,2n-pr-1,2n-pr,2n-pr+1,…,2n-pk是一個W序列。
　　 令k,l是滿足(k,l)=1和1≤l≤k-1的正整數(shù),記p(k,l)為使得p≡l(modk)成立的最小素數(shù)P,p(k)為所有p(k,l)的最大值,其中l(wèi)滿足(k,l)=1,1

8、≤l≤k-1.1944年,Linnik[42]證明p(k)

9、正整數(shù)k,p(k)0,有p(k)<c1時,p(k)c2時,p(k)　　 利用Bertrand-Chebyshev定理,素數(shù)定理等經(jīng)典數(shù)論結果,我們證明當p≥4867

10、3為素數(shù)時,對于任意滿足1≤a5時,如果2n-p1,…,2n-pr-1,2n-pr,2n-pr+1,…,2n-pk是一個W序列,并且當k>c1時,p(k)　　 我們進一步證明:對于任意滿足0<ε<0.5的正常數(shù)ε,存在正整數(shù)c3,使得當n≥c3時,如果整數(shù)m小于n2-ε,

11、那么21/ε(q(m))2-ε/ε　　 利用這個結果我們證明:當整數(shù)n>5時,如果2n-p1,…,2n-pr-1,2n-pr,2n-pr+1,…,2n-pk是一個W序列,并且當k>c2時,p(k)5時,2n-p1,…,2n-pr-1,2n-pr,2n-pr+1,…,2n-pk是一個W序列,并且當k>1時,p(k)

12、　　 設k,l是互素的兩個正整數(shù),滿足1≤l　　 這個類比蘊含了存在正常數(shù)c4使得當n>c4時,有r>1使得kn+l>Qr,gcd(kn+l,Qr)=

13、1,并且2(kn+l)-Qr與每個2(kn+l)-Q都互素,其中Q遍歷形如kx+l且不同與Qr的素數(shù),且滿足Q≤kn+l.即,當n>c4時,2(kn+l)-Q1,…,2(kn+l)-Qr,…,2(kn+l)-Qn是一個W序列,其中Qh是小于或者等于kn+l的最大的形如kx+l的素數(shù)。
　　 我們證明對于給定的任意小的正常數(shù)ε,存在僅僅依賴于ε,k的正整數(shù)Cε,k,使得對于≥Cε,k的任何素數(shù)p,以及滿足m

14、數(shù)m,有21/ε(Q(m))2-ε/εk2-ε/ε　　 由此我們證明當n>c4時,如果2(kn+l)-Q1,…,2(kn+l)-Qr,…,2(kn+l)-Qh是一個W序列,并且當k>c2時,p(k)　　 在第三章,我們考

15、慮了素數(shù)的無窮性問題。視整數(shù)x為Z上最簡單的從Z到Z的多項式映射:f(x)=x,注意到這個映射可以取無窮多素數(shù)值。更一般地,考慮Zn上的多項式映射F:Zn→ZmF(x)=(f1(x),…,fm(x))其中f1,…,fm∈Z[x1,…,xn],x=(x1,…,xn)∈Zn.怎樣確定f1(x),…,fm(x)使得對于無窮多的x,f1(x),…,fm(x)同時表示素數(shù)?這導致了其充分條件的研究。
　　 在f(x)的定義域為正整數(shù)集N的

16、情形,1857年,Bouniakowsky[79]猜想:如果f(x)是一個首項大于0,次數(shù)大于1的不可約多項式,并且對于每一個正整數(shù)k,存在正整數(shù)n使得gcd(f(n),k)=1,那么有無窮多個正整數(shù)x使得f(x)為素數(shù)。1904年,Dickson[57]提出了下面的猜想:
　　 Dickson猜想:設m≥1,f1(x)=ai+bix(i=1,…,m),其中ai和bi都是整數(shù),bi≥1,如果對于每一個正整數(shù)k,存在正整數(shù)n使得g

17、cd(Пmi=1fi(n),k)=1,那么有無窮多個正整數(shù)x使得f1(x),…,fm(x)同時為素數(shù)。
　　 1958年,Schinzel和Sierpinski[26]推廣了Dickson猜想到非線性情形。但是對定義域為Zn的多項式映射情形,鮮有文獻研究。
　　 本論文的主要創(chuàng)新點:
　　 1、研究了Goldbach猜想與算術級數(shù)的最小素數(shù)問題之間的內(nèi)在關系；在算術級數(shù)情形,提出了一個類似的Goldbach猜想:

18、如果k,l是互素的兩個正整數(shù),那么對于每個充分大的正整數(shù)n,2(kn+l)能表示為兩個不同素數(shù)p,q的和,其中p,q都是形如kx+l的素數(shù)(第二章)。
　　 2、提出了W序列；細化了Erd(o)s和Selfridge關于Grimm猜想的一個結果；也細化了Langevin關于算術級數(shù)的一個結果(第二章)。
　　 3、給出了Dickson猜想的等價形式,進而證明了Zn上的線性多項式映射F=(fl(x),…,fm(x)是容許的