Bedrosian等式和時(shí)頻分析中若干問(wèn)題的研究.pdf

1、Hilbert—Huang變換（Hilbert—Huang Transform，HHT）由美國(guó)工程院院士Huang及其合作者提出來(lái)的一種新的處理非平穩(wěn)信號(hào)的方法，該方法的主要貢獻(xiàn)是本征模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）概念的提出和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓‥mpirical Mode Decomposition，EMD）算法的引入。通過(guò)EMD算法，他們期望將任何復(fù)雜信號(hào)分解為有限個(gè)IMF之和且對(duì)每個(gè)IMF作Hilbe

2、rt變換就可以得到各自具有良好物理意義的瞬時(shí)頻率。這個(gè)方法已經(jīng)被成功應(yīng)用于海洋科學(xué)、地震勘探、機(jī)械故障診斷、生物醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域，并引起了國(guó)際理論界一些專家的廣泛關(guān)注與研究。因此從理論上建立起這個(gè)算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是一件很迫切和很有意義的事情，本文對(duì)HHT和時(shí)頻分析中若干理論問(wèn)題進(jìn)行了有益的研究和探索，其主要工作包括如下三個(gè)方面： 1.我們研究了Hilbert—Huang變換中的一個(gè)重要等式H（fg）=fHg成立的條件。1963年，B

3、edrosian對(duì)其進(jìn)行了研究，并得到了一個(gè)經(jīng)典的充分條件，為了紀(jì)念他，這個(gè)等式被稱為Bedrosian等式。隨后也有一些學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的探討，得到了一些有意義的結(jié)論。我們首先對(duì)f，g∈L2（R）的情況給予了研究，在頻域上給出了Bedrosian等式成立的若干充分必要條件，這些結(jié)果推廣了J.Brown（1974，1986）以及Xu（2006）等人的結(jié)論。接著，考慮到周期函數(shù)在實(shí)際應(yīng)運(yùn)用中的重要性，我們也研究了含周期函數(shù)的Bedro

4、sian等式成立的條件。最后，我們利用解析信號(hào)與Hardy空間中函數(shù)的邊值關(guān)系，研究了Bedrosian等式在更一般情況下成立的條件，在時(shí)間域上給出了Bedrosian等式成立的一個(gè)新的刻畫(huà)。特別地，當(dāng)g對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)與有限Blaschke積的邊值相關(guān)時(shí)，滿足Bedrosian等式的f能明確表示出來(lái)。 2.EMD算法是把一個(gè)復(fù)雜信號(hào)分解為一系列IMF函數(shù)之和，且希望分解后的信號(hào)具有良好的Hilbert變換的性質(zhì)。基于解析信號(hào)的物

5、理屬性，我們考慮IMF的數(shù)學(xué)模型如下，即信號(hào)x（t）=p（t）cosθ（t）滿足：為了找到滿足上述條件的信號(hào)，我們首先引入了規(guī)范化的Hilbert交換，這樣對(duì)于L∞（R）中的函數(shù)，其Hilbert變換就可以得到很好的定義。然后，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)eiθ（t）為有限Blaschke積的邊值時(shí)，對(duì)應(yīng)的p（t）∈Lp（R），1≤p≤∞，為滿足一定條件的有理多項(xiàng)式，這樣就構(gòu)造出了一大簇函數(shù)滿足上面的等式。特別地，我們能從這簇函數(shù)構(gòu)造出L2（R）中的正交

6、基，使得其中的每一個(gè)元素不僅具有非負(fù)的瞬時(shí)頻率，而且能夠分解為兩個(gè)滿足Bedrosian等式的函數(shù)之積。 3.在時(shí)頻分析和HHT中，我們總希望信號(hào)通過(guò)Hilbert交換求得瞬時(shí)頻率是非負(fù)的，但事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論在很多情況下不成立，即使是經(jīng)過(guò)EMD分解后得到的信號(hào)。因此，我們根據(jù)周期解析信號(hào)與Hardy空間的函數(shù)的邊值的關(guān)系，研究了周期解析信號(hào)的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)解析信號(hào)是由兩部分構(gòu)成的，一部分與其幅度相關(guān)，另一部分與內(nèi)函數(shù)的邊值相關(guān)。