時(shí)間測(cè)度上幾類動(dòng)力方程的正解.pdf

1、本文主要利用非線性泛函分析的拓?fù)涠确椒▉?lái)研究時(shí)間測(cè)度上幾類動(dòng)力方程的正解存在性。全文共分五章。 第一章介紹了本文的研究背景和主要工作。 第二章是預(yù)備知識(shí)，主要介紹了時(shí)間測(cè)度T的基本概念、“delta”導(dǎo)數(shù)及其基本性質(zhì)、“delta”積分及其運(yùn)算等。 第三章在有限時(shí)間測(cè)度[a，b]上研究了幾類奇異動(dòng)力方程的正解存在性。內(nèi)容分三節(jié)。 §3.1主要研究了邊值問(wèn)題{[ρ(t)x△(t)]△+m(t)f(t，x(σ

2、(t)))=0，t∈[a，b]，αx(a)-βx△(a)=0，γx(σ(b))+δx△(σ(b))=0，(3.1.1)和{[ρ(t)x△(t)]△+λm(t)f(t，x(σ(t)))=0，t∈[a，b]，αx(a)-βx△(a)=0，γx(σ(b))+δx△(σ(b))=0，(3.1.2)正解的存在性。本節(jié)在相對(duì)于文[23]，[33]，[36]，[55]，[59]，[69]弱的極限條件下來(lái)研究更一般化的奇異邊值問(wèn)題(3.1.1)。算子逼

3、近方法將被用來(lái)克服奇異性帶來(lái)的困難。通過(guò)使用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理，我們得到了問(wèn)題(3.1.1)正解的存在性以及問(wèn)題(3.1.2)正解的存在區(qū)間。這些結(jié)果本質(zhì)的推廣、改進(jìn)、包含了文[23]，[33]，[36]，[55]，[59]，[69]的一些主要結(jié)果。 §3.2繼續(xù)研究問(wèn)題(3.1.2)。本節(jié)中的f不必滿足文[23]，[33]，[36]，[55]，[59]，[69]，[72]中所要求的那些條件。在一定的極限條件和控制條件下，我們得到了

4、問(wèn)題(3.1.2)正解的存在性并給出了應(yīng)用的例子。 §3.3討論了ρ(t)三1，t∈[a，σ(b)]情形下的問(wèn)題(3.1.1)，即奇異動(dòng)力方程邊值問(wèn)題{x△△(t)+m(t)f(t，x(σ(t)))=0，t∈[a，b]，αx(a)-βx△(a)=0，γx(σ(b))+δx△(σ(b))=0，(3.3.1)和x△△(t)+m(t)f(t，x(σ(t))，x△(σ(t)))=0，t∈[a，b]，αx(a)-βx△(a)=0，γx(σ

5、(b))+δx△(σ(b))=0.(3.3.2)在沒(méi)有使用任何極限條件的情況下，借助于一定的控制條件，我們得到了問(wèn)題(3.3.1)和(3.3.2)正解的存在準(zhǔn)則，并給出了文[23]，[33]，[36]，[55]，[59]，[69]，[72]的結(jié)果都不再適用的例子。 第四章研究了無(wú)窮時(shí)間測(cè)度上奇異動(dòng)力方程邊值問(wèn)題x△△(t)-k2x(σ(t))+m(t)f(t，x(σ(t)))=0，t∈[0，∞)，x(0)=0,limt→∞x(t

6、)=0，(4.1.1)的正解存在性，這里m(t)在t=0奇異而f(t，x)可能在x=0奇異。由于在無(wú)窮時(shí)間測(cè)度[0，∞)上不能直接應(yīng)用Ascoli-Arzelà定理來(lái)證明算子的全連續(xù)性，我們用文[90]中的一個(gè)基于Bielecki’s范數(shù)的相對(duì)緊集判定準(zhǔn)則來(lái)解決這一問(wèn)題。當(dāng)f在x=0連續(xù)時(shí)，§4.1運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理直接得到了問(wèn)題(4.1.1)整體正解的存在性?！?.2則通過(guò)擾動(dòng)技巧成功解決了f在x=0奇異的問(wèn)題并使用Schauder不

7、動(dòng)點(diǎn)定理得到了問(wèn)題(4.1.1)整體正解的存在性。就我們所知，目前還沒(méi)有關(guān)于無(wú)窮時(shí)間測(cè)度上的奇異動(dòng)力方程(4.1.1)的類似結(jié)果。而且，我們的方法也是不同于文[3]，[54]的。 我們?cè)诘谖逭卵芯苛酥本€上一類非自治多時(shí)滯微分系統(tǒng){y'1(t)=-a1(t)y1(t)+f1(t，Y1(t)，Y2(t)，…，Ym(t))，y'2(t)=-a2(t)y2(t)+f2(t，Y1(t)，Y2(t)，…，Ym(t))，y'm(t)=-am(