分?jǐn)?shù)階抽象Cauchy問題的適定性研究.pdf

1、分?jǐn)?shù)階抽象Cauchy問題是指對時間變量的導(dǎo)數(shù)為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的抽象柯西問題,因其真實地描述了物理,化學(xué),工程,生物,金融等領(lǐng)域中的許多現(xiàn)象,近年來引起了來自數(shù)學(xué),自然科學(xué)和工程技術(shù)等學(xué)科領(lǐng)域的廣泛關(guān)注.但相較于傳統(tǒng)的整數(shù)階抽象Cauchy問題,分?jǐn)?shù)階抽象Cauchy問題具有更為復(fù)雜的解結(jié)構(gòu)和動力學(xué)行為,而且它們又強(qiáng)烈依賴于時間導(dǎo)數(shù)的類型和階數(shù).為此,本文分別針對Caputo型導(dǎo)數(shù)和Riemannn-Liouville型導(dǎo)數(shù),以及不同的導(dǎo)數(shù)

2、階數(shù),對分?jǐn)?shù)階抽象Cauchy問題的適定性問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究.
　　全文由四部分組成,具體如下:
　　(一)第一部分(對應(yīng)第二章)提出Mittag-Leffer函數(shù)Eα(atα)的一個新等式,基于這一等式提出了α階強(qiáng)連續(xù)分?jǐn)?shù)半群的概念,證明了這一概念為階數(shù)α∈(0,1)的Caputo分?jǐn)?shù)階抽象Cauchy問題(FACP)的解算子的一個新的特征表示,并證明了(FACP)是適定的,當(dāng)且僅當(dāng)其系數(shù)算子A生成α階強(qiáng)連續(xù)分?jǐn)?shù)半群.<

3、br>　　(二)第二部分(對應(yīng)第三章)研究階數(shù)α∈(1,2)的Caputo型分?jǐn)?shù)階抽象Cauchy問題.基于對數(shù)值情形Cauchy問題解性質(zhì)的觀察,我們提出了分?jǐn)?shù)階正弦族的概念,通過對分?jǐn)?shù)階正弦族性質(zhì)的刻畫,建立了分?jǐn)?shù)階正弦族的生成定理,給出了指數(shù)有界正弦族的一個廣義指數(shù)公式.我們在Hilbert空間中研究了線性算子A與其對偶算子A*生成指數(shù)有界的階正弦族的關(guān)系,并給出分?jǐn)?shù)階正弦族存在的一個充分條件.我們刻畫了分?jǐn)?shù)階正弦族的譜與相應(yīng)的無

4、窮小生成元的譜之間的關(guān)系,以及分?jǐn)?shù)階正弦族序列的強(qiáng)收斂與對應(yīng)的無窮小生成元之間的強(qiáng)收斂之間的關(guān)系.我們引進(jìn)了解析分?jǐn)?shù)階正弦族的概念,并建立了其生成定理.另外,我們討論了解析分?jǐn)?shù)階正弦族的無窮小生成元的分?jǐn)?shù)冪,給出從屬原理.最后,我們建立了分?jǐn)?shù)階正弦族與Caputo型分?jǐn)?shù)階抽象柯西問題(FACP0)之間的對應(yīng)關(guān)系,并對非齊次分?jǐn)?shù)階抽象柯西問題(FACPf),分別給出了其溫和解和強(qiáng)解存在唯一的條件.
　　(三)第三部分(對應(yīng)第四章)引

5、入Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階預(yù)解族來研究階數(shù)α∈(0,1)的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階抽象Cauchy問題(RLFACP01),(PLFACPf1).我們給出α(0<α<1)階Riemann-Liouville預(yù)解族的基本定義和一些基本性質(zhì).我們給出充分條件來保證(RLFACP01)和(RLFACPf1)的溫和解和強(qiáng)解的存在性和唯一性.
　　(四)第四部分(對應(yīng)第五章)研究階數(shù)α∈(1,2)的Riem

6、ann-Liouville型分?jǐn)?shù)階抽象Cauchy問題(RLFACP02)和(RLFACPf2).我們引入了(α?1)(1≤α≤2)階積分階余弦族的概念,首先通過對其性質(zhì)的研究,建立指數(shù)有界(α-1)階積分α階余弦族的生成定理.其次,我們引入了解析分?jǐn)?shù)階余弦族的定義,給出其生成定理,并通過對解析(α-1)階積分α階余弦族的無窮小生成元的分?jǐn)?shù)冪,建立了從屬原理.最后,我們將所獲結(jié)果應(yīng)用于Riemann-Liouville型抽象Cauchy