耗散kdv方程cauchy問題的適定性【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　耗散KdV方程Cauchy問題的適定性</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與

2、應用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b>&l

3、t;/p><p>　　孤子是20世紀的重要發(fā)現(xiàn)之一, 它是非線性效應和色散效應平衡的結果. 隨著孤子理論研究的進一步深入, 非線性色散方程以及色散-耗散型非線性發(fā)展方程被廣泛地應用于流體力學、等離子體物理、非線性光學等許多科學領域. 被廣泛研究的非線性色散方程和色散-耗散型方程的典型代表主要有 Schrödinger方程, KdV方程, 耗散KdV方程, Burgers方程等. 本文研究一類耗散KdV方程在

4、低正則Sobolev空間上的局部適定性. 利用Banach不動點定理, 我們證明了: 當時, 對任意的初始值, 耗散KdV方程的Cauchy問題存在唯一的解, . 當BO項系數(shù)λ趨向于0, 且趨向于0時, 這類耗散KdV方程的解收斂到相應的KdV方程的解.</p><p>　　關鍵詞: 孤立波; 耗散KdV方程; 局部適定性; 不動點定理</p><p>　　The Wellposedne

5、ss of Cauchy Problem for the Dissipative KdV Equation</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Soliton is one of the most important scientific discoveries in the 20th century, which is the

6、result of balance of nonlinear effect and dispersive effect. With the deepening of soliton theory, more and more nonlinear dispersive even dispersive-dissipative nonlinear evolution equations are widely applied in fluid

7、mechanics, plasma physics, nonlinear optics and many other fields. For example, Schrodinger equation, KdV equation, dissipative KdV equation and Burgers equation are typical nonlinear ev</p><p>　　ess of a cl

8、ass of dissipative KdV equations in the low regular Sobolev space. By means of Banach fixed point theorem, we proved that for any, Cauchy problem for the dissipative KdV equation has a unique solution provided that . Fu

9、rthermore, . When the coefficient of BO term λ tends to 0, and the norm tends to 0, the solution of this dissipative KdV equations approaches to the corresponding solution of KdV equations.</p><p>　　Keywords

10、: Solitary wave; Dissipative KdV equations; Local wellposedness; Fixed </p><p>　　point theorem</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　

11、AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　1.1 耗散KdV方程的簡介1</p><p>　　1.2 耗散KdV方程的適定性研究進展1</p><p><b>　　2 預備知識3</b></p><p>　　2.1 B

12、anach不動點定理3</p><p>　　2.2 Fourier變換3</p><p>　　3 耗散KdV方程Cauchy問題的適定性5</p><p>　　3.1 問題的提出5</p><p>　　3.2 預備估計6</p><p>　　3.3 主要定理的證明9</p><p>

13、<b>　　4 小結12</b></p><p><b>　　參考文獻13</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　1.1 耗散KdV方程的簡介</p><p>　　孤子

14、理論是20世紀最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一, KdV方程的建立與孤子理論的發(fā)現(xiàn)密不可分. 1834年英國科學家J. S. Russell在從愛丁堡到格拉斯哥的運河上觀察到了一種奇特的水波, 并且稱之為孤立波. 后來, 他通過實驗模擬這一現(xiàn)象, 認為孤立波是流體力學方程的一個穩(wěn)定解, 但未能從流體力學理論出發(fā)給孤立波以合理的解釋. 直到1895年, 兩位荷蘭科學家科特維格（Kortweg）與德弗雷斯（de Vries）在后者的博士論文中, 建立了

15、后來被稱為KdV方程的偏微分方程模型:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　并對其進行理論分析, 最終從理論上得到孤立波現(xiàn)象的較合理的解釋. 在后來更為深入的研究中發(fā)現(xiàn)孤立波現(xiàn)象是“非線性效應與色散效應互相平衡”[1]的結果, 基于這種認識, 許多新的孤子方程被相繼提出來并得到應用. </p><p>　　耗散KdV方程

16、是KdV方程的重要修正形式, 在應用方面成為了許多孤立波現(xiàn)象的物理模型, 如在長波小振幅近似下, 可描述等離子體的磁流體波的運動, 等離子體與聲波兩種混合態(tài)的壓力波, 管底下部流體的運動, 低溫下非線性晶格的聲子波包的熱激現(xiàn)象等.</p><p>　　本文研究耗散KdV (Korteweg-deVries) 方程Cauchy問題:</p><p>　?。ㄆ渲斜硎鞠笳魇堑乃阕? 階導數(shù), 當

17、為分數(shù)時, 為分數(shù)次導數(shù), ） </p><p>　　的適定性, 即解的存在、唯一性, 解對初始值的連續(xù)依賴性. </p><p>　　1.2 耗散KdV方程的適定性研究進展</p><p>　　色散方程Cauchy問題的低正則性是由Kato在上世紀80年代開創(chuàng)的[2,3], 基本研究思想是應用Banach不動點定理結合各類先驗估計去證明局部適定性. Stricha

18、rtz估計在早期的研究中發(fā)揮重要的作用; 后來, J. Bourgain引進了Fourier變換限制范數(shù)方法（Bourgain方法）, 雙線性估計成為了關鍵[4]; Fourier變換限制范數(shù)方法被進一步推廣用于色散-耗散方程, 例如M. Otani對耗散KdV方程的研究 [5]. 解的整體適定性問題研究的基本方法是在局部適定性的基礎上, 借助于先驗估計、方程的守恒律等性質對解做延拓而得到. 八十年代以來, 對KdV方程的解的整體存在性

19、的研究提出了一些新的處理方法, 例如J. Bourgain提出了高低頻方法 [6], T. Tao提出了幾乎能量守恒法 [7], 這些方法適用于解決當初值的正則性不太高時的解的存在性, 學術貢獻是突破性的.</p><p>　　在早期的研究中耗散KdV方程被當成耗散方程進行研究, 這方面的成果很多, Bourgain方法引進后, L. Molinet, F. Ribaud[8]將其當成色散方程進行研究, 獲得如下

20、結果：</p><p>　　當時, 則耗散具有耗散項的KdV方程在中局部適定性, 以及當時在中解的局部適定性.</p><p>　　本論文將借鑒文獻[9]的方法, 將耗散項當成非線性項, 將其看成色散方程利用Bougain方法證明適定性. 這樣做的好處是, 與L. Molinet, F. Ribaud相比較大大簡化了證明過程, 得到了同樣的結果.</p><p>&

21、lt;b>　　2 預備知識</b></p><p>　　本論文涉及到兩個重要的分析工具, 即Banach不動點定理和Fourier變換, 現(xiàn)加以回顧:</p><p>　　2.1 Banach不動點定理</p><p>　　定義2.1[10]設是度量空間, 是集合到集合的映射, 對, 如果, 使得</p><p><b

22、>　　,</b></p><p>　　則稱是集合上的一個壓縮映射.</p><p>　　引理2.1[10]（Banach不動點定理） 設是完備的度量空間, 是閉子空間. 如果是到的壓縮映射, 則存在唯一的不動點, 即. </p><p>　　不動點定理（fixed-point theorem）是拓撲空間的重要研究內(nèi)容, 1991年是L. E. J.

23、 Brouwer證明了著名的Brouwer不動點定理. 不動點理論已經(jīng)成為非線性分析的重要組成部分, 不動點問題實際上是各種各樣的方程（如代數(shù)方程、微分方程、積分方程等）的求解問題, 已經(jīng)在偏微分方程、控制論、經(jīng)濟平衡理論及對策理論等領域獲得了極為成功的應用.</p><p>　　本文應用了Banach不動點定理證明Cauchy問題的局部適定性. Banach不動點定理是方程的解的存在性、唯一性及迭代解法的理論基

24、礎. 由于分析學的需要, 這個定理已經(jīng)被推廣到非擴展映射、概率度量空間、集值映射等許多方面.</p><p>　　2.2 Fourier變換</p><p>　　定義2.2[11] 設f是R上的可積函數(shù), 則</p><p><b>　　, </b></p><p>　　稱為f的傅立葉（Fourier）變換, 記作. 稱

25、</p><p><b>　　, </b></p><p>　　為的逆傅立葉變換, 記作.</p><p>　　Fourier變換和Fourier逆變換具有許多性質, 例如線性性、平移性、相似性、微分性、多項式性、卷積性, 以下給出與本論文密切相關的幾個重要性質:</p><p>　　性質1[12,13] (微分性質)

26、如果, 都是可以進行Fourier變換的, 而且當時,, 則</p><p>　　性質1的推論[12,13] 對任意正整數(shù), 有</p><p>　　性質2[12,13]（多項式性質）如果及都可以進行Fourier變換, 那么</p><p>　　3 耗散KdV方程Cauchy問題的適定性</p><p><b>　　3.1 問題的

27、提出</b></p><p>　　本文研究耗散KdV (Korteweg-deVries) 方程的初值問題(IVP):</p><p>　　, , , (3.1)</p><p>　　, . (3.2) </p><p>　　其

28、中, . 特別地, 當時, 耗散KdV方程變?yōu)橹腒dV-Burgers方程：</p><p><b>　　. </b></p><p>　　注意到在方程（3.1）中, 三次色散項占主導地位, 起關鍵的作用, 而低階耗散從屬于它, 因此, 將放到非線性項上去考慮是合理的. 基于這樣的觀察, 我們發(fā)現(xiàn)IVP（3.1）–（3.2）將具有KdV方程的初值問題:</

29、p><p>　　, , , （3.3）</p><p>　　, . （3.4）</p><p>　　類似的局部適定性. </p><p>　　KdV方程的初值問題在Sobolev空間H r中的局部適定性的研究目前已經(jīng)取得了很好的進展. 例如Kenig, Po

30、nce和Vega[14] 證明當時IVP（3.3）-（3.4）在中局部適定.</p><p>　　首先回顧幾個定義及定理:</p><p>　　定義3.1 設, , Bourgain空間定義為Schwartz函數(shù)空間按照下面定義的范數(shù)完備化后得到的函數(shù)空間:</p><p><b>　　.</b></p><p>　　其

31、中符號～表示對時間和空間兩個變量的Fourier變換, 有時也以F表示, 相應地, Fourier逆變換以符號 表示; .</p><p><b>　　從定義容易看出,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　當時有</b></p><p>

32、<b>　　.</b></p><p>　　根據(jù)經(jīng)典的Sobolev嵌入, 還可以推出當時有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　定義3.2 定義線性KdV方程的基本解算子為:</p><p><b>　　.</b></p><p&g

33、t;　　等式右邊在分布意義下成立. 是酉算子. 符號表示對時間或空間中一個變量的Fourier變換.</p><p>　　根據(jù)Duhamal原則, KdV方程的初值問題可以等價轉換為積分方程形式:</p><p>　　. （3.5）</p><p>　　本文主要的結果如下:</p><p>　　定理3.1 設 , , 對,

34、 , 使得IVP（3.1）-（3.2）存在唯一的解, 而且對, 映射（初值解）: 是從到的Lipschitz映射.</p><p>　　定理3.2 設, , 設,, 則, 使得 當, 時, 有IVP(3.1)–(3.2)的局部解收斂到IVP（3.3）–（3.4）的局部解.</p><p><b>　　3.2 預備估計</b></p><p>　

35、　本節(jié)我們將集中對耗散項進行估計. 我們有</p><p>　　定理3.3 設 且. 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　為了證明這個結果, 我們先證明下面的引理. 我們約定: 當時, ; 其</p><p>　　余情況取值為0. 定義投影算子為: .</p><p>

36、;　　引理3.1 設, , 且. 假設的Fourier變換 的支集包含于中, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 根據(jù), , 由, 則, 易得. 由, 得, 又, 我們得到.</p><p>　　下面由Fourier變換的支集條件, 及算子P的定義, 可得</p><p><b&

37、gt;　　.</b></p><p><b>　　定理3.3的證明</b></p><p>　　情況1 如果的支集包含于中, 其中, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　情況2 如果的支集包含在中, 出于技術的考慮將改寫為, 并分別用不同的方法對他們進行估

38、計. </p><p>　　對于, 利用引理2.1可得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　其中是一個與無關的正常數(shù).</p><p>　　對于, 容易看出的支集包含于</p><p><b>　　或者.</b></p><p>

39、;　　在D中, 我們有或. 因為, 所以</p><p><b>　　.</b></p><p>　　其中是一個與無關的正常數(shù).</p><p>　　綜合情況1和情況2, 可得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　其中, 是一個不依賴于的正常數(shù). 證畢

40、.</p><p>　　3.3 主要定理的證明</p><p>　　先回顧一些必要的估計, 包括線性估計和雙線性估計.</p><p>　　設, 具有支集, 而且對, . , 定義.</p><p>　　引理3.2[14,15] 設, . 我們有</p><p><b>　　.</b></p

41、><p><b>　　.</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　對初始值的正則性的降低主要取決于對非線性項的雙線性估計的改進. 關于耗散KdV方程的非線性項的雙線性估計, 經(jīng)歷了下面的改進:</p><p>　　引理3.3[14,15] 設, , 則有:</p&g

42、t;<p><b>　　.</b></p><p>　　定理3.1的證明 設, . 定義算子:</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中.</b></p><p>　　取中的球, 則是的完備的線性子空間. 下面證明是從到的壓縮映照.

43、</p><p>　　根據(jù)引理3.2, 引理3.3 (對應)和定理3.3可以得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此, 只要選取滿足, , 就有, 即將映照到它本身.</p><p>　　取 , 利用與上面相同的計算得到:</p><p><b>　　.&l

44、t;/b></p><p>　　對于上述選取的, 我們有:</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此, 是上的壓縮映照.</p><p>　　根據(jù)Banach不動點定理, 存在唯一的不動點, 該不動點就是初值問題IVP（3.1）-（3.2）的解.</p><p>　　

45、為了證明定理3.2, 需要建立在局部化的Bourgain空間上. 對, 局部化Bourgain空間的范數(shù)由來定義.</p><p><b>　　定理3.2的證明</b></p><p>　　將IVP（3.3）–（3.4）改寫成等價的積分方程形式:</p><p>　　, （3.6）</p><

46、;p>　　從定理3.1的證明我們可容易得到, 對任意的, , 則存在常數(shù)T滿足, 使得初值問題(3.3)–(3.4)存在唯一的解, .并且對, 滿足</p><p><b>　　.</b></p><p>　　對于證明上面確定解的唯一存在性, 我們設這兩個解為, , 選擇使之滿足:</p><p><b>　　, , .<

47、;/b></p><p>　　由(3.5), (3.6)得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　不妨設解, 在同一區(qū)間中存在, 根據(jù)引理3.2, 引理3.3和定理3.1可得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>

48、;　　于是, 我們有:</b></p><p>　　由此可得, 只要將, , 就有這個結論.</p><p><b>　　4 小結</b></p><p>　　孤子理論在現(xiàn)代自然科學領域發(fā)揮著重要的作用, 描述孤子現(xiàn)象的各類發(fā)展方程隨之受到重視. 本文利用擬用Banach不動點定理證明耗散KdV方程的初值問題的適定性.</p&

49、gt;<p>　　經(jīng)過本次論文的撰寫我學到了很多. 了解到KdV方程及耗散KdV方程與孤立子理論的淵源, 色散方程的適定性的研究方法. 本論文跟蹤這一領域的最新進展, 建立耗散KdV方程在低正則Sobolev空間上的適定性. 理論的創(chuàng)新給我很多啟示, 同時我也體會到了論文研究工作的艱辛, 科學研究需要一定的嚴密性和邏輯性.</p><p><b>　　參考文獻</b></

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