關(guān)于帶利率的風(fēng)險(xiǎn)模型的研究.pdf

1、本文致力于研究帶隨機(jī)利率的風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題，帶常利率經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問題和保費(fèi)收入隨機(jī)化的風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題。 自從經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型提出后，許多研究人員對此進(jìn)行了推廣，以使得更符合保險(xiǎn)公司的實(shí)際的經(jīng)營情況。而帶利率的風(fēng)險(xiǎn)模型就是對古典風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣之一。在傳統(tǒng)的精算理論中，一般不考慮利率因素，而當(dāng)我們所考慮的是一種長期的險(xiǎn)種的時(shí)候，則常常需要考慮貨幣的時(shí)間價(jià)值，即利率問題。近來國內(nèi)外一些學(xué)者開始在風(fēng)險(xiǎn)模型中考慮利率因素，例如

2、：Yang.,Zhang(2001)給出了常利率下破產(chǎn)前瞬間余額和破產(chǎn)時(shí)赤字的聯(lián)合分布。吳榮，杜勇宏(2002)對利率過程{Rt，t≥0}為常數(shù)的更新模型，得到了破產(chǎn)概率，破產(chǎn)時(shí)的余額分布以及破產(chǎn)前瞬間余額分布的級數(shù)展開式和積分方程.Wu.,Wang.,Zhang(2005)得到了常利率下破產(chǎn)時(shí)，破產(chǎn)前瞬間余額和破產(chǎn)時(shí)赤字三者的聯(lián)合分布。CaiandDickson(2002)研究了隨機(jī)利率下Gerber-Shiu期望折現(xiàn)函數(shù)。Cai(2

3、003)對帶隨機(jī)利率的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，導(dǎo)出了破產(chǎn)概率的上界。在此基礎(chǔ)上Cai(2004)又得到了破產(chǎn)概率的積分方程，上下界以及Gerber-Shui期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的積分微分方程。DeFinetti(1957)最早提出了最優(yōu)分紅問題，并指出了，當(dāng)保險(xiǎn)公司的余額過程為一個離散過程時(shí)，最優(yōu)分紅策略為帶壁分紅策略，即當(dāng)余額超過某一設(shè)定的界限時(shí)，保險(xiǎn)公司才對股東分紅.Bühlmann(1970)討論了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中的最優(yōu)分紅問題.Gerber,S

4、hiu(2004)討論了帶正漂移的布朗運(yùn)動在帶壁分紅策略下的最大值分紅問題.Gerber,Shiu(2006)討論了最優(yōu)分紅策略下，帶正漂移的布朗運(yùn)動的反射和折射問題。Gerber,Shiu(2006)又討論了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下的按某一有界的比例的分紅問題，并且指出了最優(yōu)分紅策略為帶壁分紅策略.本文就是在此基礎(chǔ)上，討論了常利率古典風(fēng)險(xiǎn)模型的按某一有界的比例的分紅問題. 第一章，隨機(jī)利率下的Erlang(2)風(fēng)險(xiǎn)模型，主要對索賠記數(shù)過

5、程是Erlang(2)過程，隨機(jī)利率為一個Lévy過程的風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了討論。首先導(dǎo)出了破產(chǎn)概率滿足的積分方程，估計(jì)了其上下界，然后針對隨機(jī)利率為布朗運(yùn)動以及漂移布朗運(yùn)動的情況導(dǎo)出了破產(chǎn)概率滿足的具體積分方程，最后討論了罰金函數(shù)，并寫出了罰金函數(shù)滿足的積分方程以及在特殊情況下滿足的積分微分方程。 具體結(jié)果如下： 定理1.2.1：破產(chǎn)概率滿足Ψ(u)=∫∞0∫∞0(-F)(ux+cy)p(x，y)dxdy+∫∞0∫∞∫ux+

6、cy0Ψ(ux+cy-z)p(x，y)dF(z)dxdy.定理1.3.1：對u≥0，Ψ(u)≥E[(-F)(uA+cB)]/1-∫10∫u(1-x)/c0F(ux+uy)p(x,y)dxdy.定理1.3.2：對所有的u≥0，有：Ψ(u)≤αE[exp{RZ1}]E[exp{-R(ux+cB)}]≤αeRu，其中(α)-1=inft≥0{∫∞texp{Rz}dF(z)/exp{Rt}(-F)(t)},0≤α≤1.定理1.4.2：利率過程R

7、t為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動時(shí)，破產(chǎn)概率滿足積分方程：Ψ(u)=β2∫∞0te-βt[∫∞0∫∞0(-F)(ux+cy)(~g)(x，y)dxdy+∫∞0∫∞0∫ux+cy0Ψ(ux+cy-z)(~g)(x，y)dF(z)dxdy]dt.定理1.4.3：利率過程Rt為漂移布朗運(yùn)動時(shí)，破產(chǎn)概率滿足積分方程：Ψ(u)=β2∫∞0te-βt[∫∞0∫∞0(-F)(ux+cy)gt(x，y)dzdy+∫∞0∫∞0∫ux+cy0Ψ(ux+cy-z)gt(z

8、，y)dF(z)dxdy]dt. 定理1.5.1：罰金函數(shù)Φα(u)滿足積分方程：Φα(u)=β2∫∞0te-(α+β)t∫∞0∫∞0∫ux+cy0Φα(ux+cy-z)p(x，y)dF(z)dxdydt+β2∫∞0te-(α+β)t∫∞0∫∞0∫∞ux+cyg(ux+cy，z-(ux+cy))·p(x，y)dF(z)dxdydt.在第二章關(guān)于常利率古典風(fēng)險(xiǎn)模型的按比例分紅問題，在Gerber與Shiu(2005)的基礎(chǔ)上，討論

9、了常利率古典風(fēng)險(xiǎn)模型的按比例分紅問題。主要推導(dǎo)出了最優(yōu)分紅策略下，紅利總量現(xiàn)值的期望所滿足的積分方程，以及當(dāng)保險(xiǎn)公司的初始資金u大于或等于紅利界限b時(shí)，紅利總量現(xiàn)值的期望的精確結(jié)果。 具體結(jié)果如下：定理2.3.1：設(shè)V(u)為E[D]的最大值，則V(u)滿足max0≤r≤α{r+(uδ+c-r)V'(u)}-(ρ+λ)V(u)+λ∫u0V(u-y)dF(y)=0.定理2.4.1：V(u,b)滿足積分方程V(u,b)=cV(0,b

10、)/uδ+c∫u0ρ+δ+λ(-F)(u-x)/uδ+cV(x,b)dx.(0＜u＜b)V(u,b)=(c-α)V(0,b)-αu/uδ+c-α+∫u0ρ+δ+λ(-F)(u-x)/uδ+c-αV(x,b)dx.(u≥b) 定理2.5.1:在u≥b時(shí)，V(0,b)=α[δ+ρ∫∞01/tA(t)dt]/ρ[δ+∫∞0(ρ/t+λμφ(t))A(t)dt]. 第三章保費(fèi)收入隨機(jī)化的風(fēng)險(xiǎn)模型，推廣了龔日朝(2001)的風(fēng)險(xiǎn)模

11、型，把保費(fèi)隨機(jī)化，利用鞅方法討論了保單來到過程與索賠來到過程均為Poisson過程的破產(chǎn)概率。接著又討論了Gerber-Shiu期望折現(xiàn)函數(shù)，推導(dǎo)出了其滿足的積分方程，以及Laplace變換。最后利用隨機(jī)游動的知識，討論了當(dāng)保單來到過程與索賠來到過程為同一更新過程時(shí)的破產(chǎn)概率。 具體結(jié)果如下：定理3.2.4：在此模型中，最終破產(chǎn)概率ψ(u)=e-Ru/E[exp{-R·R(t)}T＜∞].其中R為調(diào)節(jié)系數(shù)。 定理3.3.

12、1：罰金函數(shù)φ(u)滿足積分微分方程：φ(u)=∞∑n=0∫∞0λ2(λ1t)n/n!e-(α+λ1+λ2)tdt∫∞0…∫∞0[∫u+x1+…+xn0φ(u+x1+…+xn-y)fY(y)dy+∫∞u+x1+…+xnω(u+x1+…+xn,y-u-(x1+…+xn)fY(y)dy]fx(x1)…fx(xn)dx1…dxn. 當(dāng)保單來到過程與索賠來到過程為同一更新過程時(shí)：定理3.4.4：索賠分布FY為參數(shù)為δ的指數(shù)分布時(shí)，破產(chǎn)概