有理譜配點法求解奇異攝動問題.pdf

1、最高階導數(shù)項前帶有小參數(shù)ε的微分方程問題稱為邊界層型奇異攝動問題,其特性是解在某區(qū)域內(nèi)變化劇烈(此區(qū)域稱為邊界層或內(nèi)層),在自然科學和工程技術中都有廣泛應用。本文主要研究這類問題的數(shù)值解法。
　　 譜方法的最大優(yōu)勢在于譜精度,但用在奇異攝動問題時,經(jīng)典譜方法需要大量節(jié)點才能顯現(xiàn)出指數(shù)階收斂并得到高精度的數(shù)值解。為了能夠用可接受的節(jié)點數(shù)目來計算較薄的邊界層問題,許多學者提出了改進的譜方法,主要思想是通過引入適當?shù)淖儞Q使配點在邊界層

2、處更加密集。本文采用帶sinh變換的有理譜配點法(RSC-sinh)求解奇異攝動問題。
　　 重心形式的有理譜配點法具有指數(shù)階收斂精度,而且在引入適當變換后,原微分方程不必隨之變化。引入sinh變換的作用是使得變換后的Chebyshev節(jié)點在邊界層處比較密集,在其他區(qū)域比較稀疏。因此,帶sinh變換的有理譜配點法特別適合求解邊界層問題。
　　 sinh變換中含有邊界層位置和寬度的參數(shù),如果直接把原微分方程中的小參數(shù)ε作為

3、邊界層寬度代入此變換中,會影響結果的精度。對此,本文提出了利用漸近展開的理論結果來確定sinh變換中的參數(shù)的思想。
　　 本文用帶sinh變換的有理譜配點法求解了多種奇異攝動問題,包括兩點邊值問題、一階參數(shù)化問題、三階問題和強、弱耦合的方程組等。對每類問題,分別進行了漸近展開分析,并給出數(shù)值算法。數(shù)值實驗表明,RSC-sinh方法具有諸多優(yōu)點,比如,邊界層區(qū)域內(nèi)配點合適,誤差收斂速度快,算法簡便易行,可處理多種類型的邊界層問題(