關于D-空間的若干結果.pdf

1、作為現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，一般拓撲學自開創(chuàng)至今蓬勃發(fā)展，特別是在二十世紀四十年代到七十年代期間更是經(jīng)歷了一段輝煌時期.在拓撲學的發(fā)展過程中，各類具有良好性質的拓撲空間越來越多的被引入進來，充實了一般拓撲學的研究范疇.D-空間類正是在這種大形勢下產(chǎn)生的.上世紀七十年代，vail Douwen在他的博士論文中引入了D-空間的概念；后來在著名的論文“Some properties of the Sorgenfrey line and rel

2、ated spaces”中，van Douwen與Pfeffer明確地給出了D-空間的定義并進行了探討，這也是第一次在正式出版論文中出現(xiàn)了有關D-空間的結果。D-空間有著許多良好的覆蓋性質；同時，van Douwen還提出了一些關于D-空間的有趣的問題。這些因素的存在引起了其他拓撲學家的注意，他們開始投入到D-空間理論的研究中.尤其是在近些年來，諸如Arhangel'skii與Buzyakova，Gruenhage，F(xiàn)leissner與

3、Stanley，彭良雪，林壽等國內(nèi)外著名的拓撲學家做了大量工作，發(fā)表了一系列關于D-空間理論的重要論文.這些工作不僅發(fā)展了D-空間的理論體系，更是激發(fā)了更多的拓撲學工作者對D-空間理論的研究熱情。 第一章，首次證明了t-可度量化空間是D-空間.Dow，Junnila以及Pelant[2006]定義了t-可度量化空間的概念，它是具有點可數(shù)基的空間類的嚴格推廣。另外，Gruenhage在“A note on D-spaces”一文中

4、定義了近良好關系，為發(fā)現(xiàn)新的D-空間類提供了一些有效方法.在第1.3節(jié)中，通過建立t-可度量化空間上的近良好關系，證明了任一t-可度量化空間都是遺傳D-空間，并且得到了一些重要推論.在第1.4節(jié)中，對D-空間的并空間理論進行了探討.并以第1.3節(jié)中得到的結果作為基礎，引入了強點可數(shù)可擴張網(wǎng)絡的概念，證明了有限多個具有強點可數(shù)可擴張網(wǎng)絡的子空間的并是D-空間，進而又證明了有限多個screenableσ-子空間的并是D-空間. 第二

5、章，工作分為兩個部分。在第2.3節(jié)中，主要對局部上存在D-空間性質的空間(稱之為局部D-空間)進行了探討，證得了每一個submetacompact局部D-空間是D-空間。在第2.4節(jié)中，繼續(xù)對D-空間的并空間理論進行研究，主要針對滿足open(G)的空間展開工作，證明了有限多個滿足open(G)的子空間的并是D-空間。值得注意的是，Arhangel'skii在“D-spaces and finite unions”一文中證明了有限多個具

6、有點可數(shù)基的子空間的并是D-空間。由于每個具有點可數(shù)基的空間都是滿足open(G)的，因此上述結果推廣了Arhangel'skii的結論。 第三章，引入了一類嚴格弱于D的空間，稱之為線性D-空間。在第3.3節(jié)與第3.4節(jié)中對該類空間進行了深入探討。首先給出了該空間類的幾種等價刻畫，之后得出了一些結果：每一個δθ-加細空間是線性D-空間；一個拓撲空間是D-空間，如果該空間是有限多個線性D-空間的并。Arhangel'skii多次在

7、他的文章中提出了這樣一個問題：如果一個可數(shù)緊空間是可數(shù)多個D-子空間的并，那么該空間是不是緊空間?該問題分別被Juhasz、Gerlitz與Szentmiklossy[2005]，以及彭良雪[2007]所獨立解決。在第3.4節(jié)中將這樣的結果進行了推廣，證明了可數(shù)緊空間是緊致的如果該空間是可數(shù)多個線性D-子空間的并。另外，還證明了一個具有可數(shù)extent的空間X如果是有限多個δθ-加細子空間的并，則X是Lindelof空間。在第3.5節(jié)中

8、，考察了Dσ-空間與線性D-空間的關系，得知線性D-空間同樣是Dσ-空間的嚴格推廣。 第四章，主要針對Arhangel'skii提出的一個問題進行了回答.在“D-spaces and covering properties”一文中，Arhangel'skii引入了Alexandroff-Downer extension的概念，并提出了這樣的問題：從內(nèi)在的形式出發(fā)，分別刻畫具有點可數(shù)基的空間類與具有σ-不交基的空間類的Alexan