三類發(fā)展型方程的系數(shù)反演問題.pdf

1、本文主要討論了三類發(fā)展型方程的系數(shù)反演問題，這三類問題在許多工程和應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用，尤其是在概率論、隨機(jī)控制、金融數(shù)學(xué)、金屬的電磁成型技術(shù)及無線電傳播系統(tǒng)中有重要應(yīng)用?；谧顑?yōu)控制理論框架，我們討論了三類問題對應(yīng)的優(yōu)化問題的解的適定性。這些問題的主要困難在于問題的不適定性、完全非線性性、以及控制泛函的非凸性。特別是對于后兩個問題，由于附加數(shù)據(jù)偏少，人們很難得到最優(yōu)解的唯一性。本文中，我們提出了一些新的先驗估計方法，并在假設(shè)終端

2、時刻較小的前提下，成功地證明了最優(yōu)解的唯一性和穩(wěn)定性，這也是本文的主要貢獻(xiàn)。文章主要包含以下五個部分：
　　首先是引言部分，簡要介紹了反問題的研究背景及國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀。
　　第一章重點從理論分析的角度研究了一類Kolmogorov型方程的對流系數(shù)反演問題。首先簡單介紹了所要討論的問題P1，并證明了原問題解的唯一性?？紤]到問題P1的不適定性，我們將其轉(zhuǎn)化為一個最優(yōu)化問題P1'，然后證明了控制泛函極小元的存在性及它滿足的必要條

3、件。最后，利用能量估計及得到的必要條件，我們證明了極小元的穩(wěn)定性和唯一性。
　　第二章采用最優(yōu)化方法研究了一類拋物一橢圓耦合系統(tǒng)的擴(kuò)散系數(shù)反演問題。與一般的拋物型方程的參數(shù)識別問題不同，本文中的問題是由分屬于不同區(qū)域的拋物型方程和橢圓型方程耦合而成，并且在求解該反問題時我們僅用了部分區(qū)域上的附加信息。在優(yōu)化理論框架下，先將原系數(shù)反演問題P2轉(zhuǎn)化為一個最優(yōu)控制問題P2'，然后依次證明了最優(yōu)解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。
　　第三

4、章討論了一類SchrMinger型方程的零階項系數(shù)識別問題。此類問題在無線電傳播系統(tǒng)中有很重要的應(yīng)用，所需反演的未知系數(shù)稱為折射率指數(shù)。我們先證明了最優(yōu)控制問題解的存在性，然后導(dǎo)出了最優(yōu)解滿足的必要條件。最后利用必要條件、能量估計以及復(fù)值函數(shù)的特殊性質(zhì)，推演出了最優(yōu)解的唯一性和穩(wěn)定性。
　　第四章對全文進(jìn)行了總結(jié)與展望。對于文中所討論的三類問題，后續(xù)的主要工作可以從兩方面考慮：一方面考慮采用文中的方法類似地討論三類問題更一般的情形