扭轉(zhuǎn)問題的重心有限元算法.pdf

1、扭轉(zhuǎn)問題是彈性力學(xué)中的常見問題，解決扭轉(zhuǎn)問題的關(guān)鍵，在于求解其應(yīng)力函數(shù)所滿足的二階偏微分方程。對(duì)于形狀規(guī)則的截面，可以通過解析方法求出應(yīng)力函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)彈性力學(xué)扭轉(zhuǎn)方程求出剪應(yīng)力值、抗扭剛度、單位扭轉(zhuǎn)角和翹曲函數(shù)等；而對(duì)于形狀復(fù)雜或者復(fù)連通區(qū)域截面的扭轉(zhuǎn)，很難利用解析的方法進(jìn)行分析，由于有限元方法在求解偏微分方程中具有重要的應(yīng)用，故可以采用有限元方法分析復(fù)雜截面的扭轉(zhuǎn)問題。傳統(tǒng)有限元法的單元?jiǎng)澐志窒抻谌切位蛩倪呅?，難以滿足插值函數(shù)的位

2、移協(xié)調(diào)性要求，基于平均值插值的重心有限元方法，則采用多邊形單元網(wǎng)格，具有單元數(shù)目少，計(jì)算精度較高的優(yōu)點(diǎn)。本文擬采用重心有限元方法分析不同截面形狀下的扭轉(zhuǎn)問題。
　　 本文以桿件扭轉(zhuǎn)和重心有限元為主線，進(jìn)行了以下方面的工作和研究：
　　 一：歸納了分析扭轉(zhuǎn)問題的兩種主要方法：解析法和數(shù)值法。解析法又可分為位移法、共軛函數(shù)法、翹曲函數(shù)法等；數(shù)值方法主要包括有限元法、有限差分法、邊界元法等。
　　 二：論述了扭轉(zhuǎn)問題的

3、基本方程，為扭轉(zhuǎn)算例的進(jìn)行做了鋪墊。
　　 三：推導(dǎo)了多邊形單元上平均值插值函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式；編寫了多邊形單元上平均值插值函數(shù)計(jì)算程序。平均值插值函數(shù)可以在多邊形單元上進(jìn)行插值，滿足插值函數(shù)的協(xié)調(diào)性要求，不含待定參數(shù)，不需要進(jìn)行等參變換，與傳統(tǒng)的Wachspress插值函數(shù)和Laplace插值函數(shù)相比，平均值插值更具優(yōu)越性。多邊形單元平均值插值函數(shù)的誤差隨單元尺寸的減小而降低，隨著多邊形單元尺寸的減小，重心有限元法的數(shù)值解將逐漸

4、收斂于精確解。
　　 四：本文采用重心有限元方法分別計(jì)算了橢圓截面、三角形截面、半圓槽截面、同心圓管截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，分別求出了剪應(yīng)力值、抗扭剛度、單位扭轉(zhuǎn)角、翹曲函數(shù)。數(shù)值算例結(jié)果表明該方法具有較好的的精度。
　　 重心有限元方法的單元?jiǎng)澐挚刹捎枚噙呅?，突破了傳統(tǒng)有限元方法只能采用三角形或四邊形劃分單元的限制，使得區(qū)域網(wǎng)格的劃分更加隨意和靈活；另外，重心有限元方法采取中心三角形數(shù)值積分方案，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算程序的編寫過