Bott函數(shù)等值面的Betti數(shù).pdf

1、Bott函數(shù)（又稱廣義Morse函數(shù)）是Morse函數(shù)的推廣。Morse理論揭示流形的拓?fù)湫再|(zhì)與Bott函數(shù)的臨界點(diǎn)之間的聯(lián)系。 對(duì)于一個(gè)Hamilton系統(tǒng)，其相軌線位于該系統(tǒng)的等能面(即系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)的等值面)上，因此一個(gè)Hamilton系統(tǒng)的相軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)依賴于系統(tǒng)的等能面的拓?fù)湫再|(zhì)。當(dāng)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)是Bott函數(shù)時(shí)，可利用Morse理論對(duì)系統(tǒng)的等能面的拓?fù)湫再|(zhì)作出研究。在文獻(xiàn)[13]中，古志鳴利

2、用Morse不等式對(duì)Hamilton系統(tǒng)等能面的1維Betti數(shù)上界作出估計(jì)。 在文獻(xiàn)[4]中，Atiyah證明了臨界點(diǎn)指數(shù)與余指數(shù)不等于1的Bott函數(shù)等值面是連通的（即等值面0維Betti數(shù)為1），這條定理在矩映射凸性定理的證明中起著關(guān)鍵作用。 從上面的討論中可以看出Bott函數(shù)等值面的Betti數(shù)的研究具有重要意義。本文致力于Bott函數(shù)等值面的Betti數(shù)的研究，得到下面三個(gè)結(jié)果： 1.得到一個(gè)與Bot

3、t函數(shù)等值面有關(guān)的相對(duì)同調(diào)群公式，利用此公式和文獻(xiàn)[13]的方法得到Bott函數(shù)等值面Betti數(shù)上界、下界估計(jì)。 2.對(duì)于臨界點(diǎn)指數(shù)與余指數(shù)不等于1的Bott函數(shù)，利用Morse不等式以及Lefshetz對(duì)偶定理給出其等值面連通性的新證明，并且給出與其臨界值對(duì)應(yīng)的等值面連通性的證明。 3.對(duì)于臨界點(diǎn)指數(shù)不等于奇數(shù)的Morse函數(shù)，利用Mayer-Vietoris正合同調(diào)序列和Morse函數(shù)的間隔原理得到了其等值面的