三點(diǎn)式纖維化的整體不變量.pdf

1、尋找代數(shù)曲面的不變量之間的關(guān)系是代數(shù)幾何的重要問(wèn)題．計(jì)算帶有纖維化的曲面的不變量等價(jià)于計(jì)算纖維化的相對(duì)不變量．對(duì)于直紋面和橢圓纖維化以及超橢圓纖維化的不變量，人們已有有效的計(jì)算方法．非超橢圓纖維化的不變量計(jì)算是代數(shù)幾何中未解決的問(wèn)題．而三點(diǎn)式(Trigonal)纖維化是非超橢圓纖維化中最簡(jiǎn)單的情形．例如虧格3和虧格4非超橢圓纖維化都是三點(diǎn)式纖維化． 經(jīng)過(guò)一個(gè)基變換后，三點(diǎn)式纖維化曲面都有一個(gè)到直紋面的三次覆蓋，因此我們可以利用三

2、次覆蓋理論來(lái)計(jì)算不變量．我們可以從一個(gè)幾何直紋面上的三次覆蓋出發(fā)，并且利用典范解消來(lái)解消曲面上的奇點(diǎn)．這時(shí)我們就有公式來(lái)計(jì)算光滑曲面的不變量．為了回到原始曲面，我們還得收縮纖維中的(-1)-曲線．因此主要問(wèn)題就是計(jì)算典范解消產(chǎn)生的垂直(-1)-曲線的條數(shù)．對(duì)三次覆蓋來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)未解決的問(wèn)題． 對(duì)于二次覆蓋，類似的問(wèn)題被E.Horikawa[19]和肖剛[61]解決．他們將分歧軌跡中的奇點(diǎn)分為兩類，并且對(duì)每一類奇點(diǎn)都有公式計(jì)算這

3、種(-1)-曲線的條數(shù)． 對(duì)于三次覆蓋，我們找到分歧軌跡奇點(diǎn)的一種數(shù)值分類．我們將奇點(diǎn)分為9類，并且對(duì)每一類奇點(diǎn)，我們也知道典范解消產(chǎn)生的垂直(-1)-曲線的條數(shù)．這樣我們就得到了原始曲面的不變量．如果把我們的方法應(yīng)用于二次覆蓋，那么我們也可以得到E．Horikawa和肖剛的結(jié)果． 作為應(yīng)用，結(jié)合陳志杰和談勝利[12]的研究結(jié)果，我們得到了虧格3半穩(wěn)定非超橢圓纖維化的不變量計(jì)算公式．從而我們解決了M．Reid[46]于1