一些關(guān)于對相鄰部分限制的分拆和有序分拆的等式.pdf

1、本文的主要結(jié)果是一些關(guān)于對相鄰部分進行限制的分拆和有序分拆的等式，其中包括兩個關(guān)于overpartition的Rogers-Ramanujan型等式，由Andrews給出的兩個Rogers-Ramanujan型等式的組合證明，一個揭示了anti-lecture hall有序分拆和overpartition之間的深層關(guān)系的等式，以及對首部分限制的lecture hall分拆的生成函數(shù)式。
　　 歐拉分拆定理被看作是第一個分拆定理，

2、它指出把n分成不同部分的分拆的個數(shù)等于n的奇分拆的個數(shù)。歐拉分拆定理預(yù)示著大量的更深的分拆等式。
　　 正如我們看到的，歐拉分拆定理涉及的是相鄰部分的差不小于1的分拆，追尋這個思路，歐拉定理之后的一大類分拆等式研究了對相鄰的部分之差或者是相鄰的整數(shù)在分拆中出現(xiàn)次數(shù)進行限制的分拆。涉及“2-distinct”分拆的Rogers-Ramanujan等式是這一大類分拆等式中最著名的一個。Schur，Gordon，Gollnitz、Ba

3、ilev，Slater，Andrews等數(shù)學(xué)家都在發(fā)現(xiàn)和證明Rogers-Ramanujan型等式中做出重要工作。Baxter，Andrews，F(xiàn)orrester等人將Rogers-Ramanujan型恒等式介紹到了物理學(xué)中，展示了它在統(tǒng)計力學(xué)的hard hexagon模型中的重要應(yīng)用。
　　 在本文的第二章中我們研究了一些Rogers-Ramanujan型等式。首先我們發(fā)現(xiàn)了兩個新的關(guān)于overpartition的Rogers

4、-Ramanujan型等式，并且通過應(yīng)用Andrews的一個轉(zhuǎn)換公式給出了它們的代數(shù)證明。進一步地，我們通過考慮overpartition的連續(xù)Durfee剖分給出了其中一個等式的組合解釋。另外，我們還給出了由Andrews發(fā)現(xiàn)的兩個Rogers-Ramanujan-Gordon型等式的對合證明。其中的第一個是一個考慮奇偶性的Rogers-Ramanujan-Gordon型等式；另一個則同時包含歐拉分拆定理和Rogers-Ramauja

5、n-Gordon等式作為其特殊情況。
　　 歐拉分拆定理后的另一大類等式考慮的是對相鄰部分之商而不是之差進行限制的分拆或者有序分拆。Bousquet-Mélou和Eriksson給出的lecture hall分拆定理是這一大類中最為優(yōu)美的結(jié)果之一。之后Corteel和Savage又定義了與lecture hall分拆相對應(yīng)的組合結(jié)構(gòu)anti-lecture hall有序分拆，并給出了anti-lecture hall有序分拆定理

6、。一些關(guān)于其它的對相鄰部分之商進行限制的分拆或有序分拆，比如截斷l(xiāng)ecture hall分拆，(k，l)-lecture hall分拆的等式也被建立起來。
　　 在本文的第三章中，我們主要考慮對相鄰部分之商進行限制的分拆或有序分拆。首先，我們深入地研究anti-lecture hall有序分拆和overpartition之間的聯(lián)系，證明了首部分不超過k-2的n的anti-lecture hall有序分拆的個數(shù)等于不帶杠部分被k除

7、不等于0，±1的n的overpartition的個數(shù)。這個等式可以看作是Corteel和Savage的anti-lecture hall定理的有限形式。為了證明這個結(jié)果，我們用組合的方法給出這種anti-lecture hall有序分拆的生成函數(shù)，同時也應(yīng)用了我們在第二章中給出的兩個關(guān)于overpartition的Rogers-Ramanujan型等式。對于k是奇數(shù)的情況，我們應(yīng)用Corteel和Savage的一個雙射的新的表達(dá)形式和A