分拆恒等式的映射與對合.pdf

1、該文主要是用組合的方法(映射與對合)證明一些著名的分拆恒等式，主要包括了下面的組合恒等式：歐拉分拆定理、Ramanujan恒等式、雅克比三重積公式、雅克比恒等式、歐拉五角數定理、高斯恒等式、五重積公式和 Andrews-Olsson 分拆定理。通常，我們先用分拆語言將恒等式轉化為分拆恒等式，然后用圖像來表示分拆，再使用各種組合工具將一種分拆變成另一種分拆，給出了分拆恒等式的組合證明。 本文共分為五章。 第一章主要是介紹分

2、拆的概念。特別提出兩個處理分拆的方法：分拆的圖像表示；分拆的生成函數。 歐拉分拆定理是分拆理論的基石。正如我們所見，該定理預示著許多更深的結果，其中最著名的恒等式為Rogers—Ramanujan恒等式。許多著名數學家，例如Sylvester、Fine和Glaisher都曾研究過歐拉分拆定理，分別得到了Sylvester 限制，兩個Fine限制，Glaisher限制和Bousquet—Mélou-Eriksson限制。

3、在第二章中，通過構造新的映射，我們得到了一個包含Glaisher限制和Bousquet—Mélou—Eriksson限制的三個變量的限制。最后我們還考慮歐拉分拆定理的推廣。 第三章主要是討論出自《Ramanujan's Lost Notebooks))的兩個恒等式的組合證明。通過引進一個新的概念“根分拆”，我們將兩個Rmnanujan恒等式轉化為兩個新的分拆等式，而這兩個分拆等式可以看成為帶權重的歐拉分拆定理。結合兩個已知的組合

4、映射，我們給出了這兩個分拆等式的證明，從而解決了美國科學院院士George E．Andrews在《數學進展》上提出的公開問題，此問題于2001年再次被英國數學家Robin Chapman提出。 第四章主要是研究雅克比三重積公式和雅克比恒等式。第一部分主要是研究雅克比三重積公式，給出了Wright映射與Zolnowsky對合。并且通過限制Wright映射，得到了雅克比三重積公式的有限形式。在本章的第二部分，我們通過構造對合給出雅克

5、比恒等式一個新的組合證明；通過限制我們的對合，得到了雅克比恒等式的有限形式，該有限形式包含了Hirschhorn的一個結果。作為雅克比恒等式的應用，我們給出了由Berkovich和Garvan提出的分拆同余限制的一個新的證明。 為了給出分拆同余的組合解釋，Dyson給出了一個漂亮并且簡單的映射，該映射是建立在秩至多為r+1，權重為n的分拆集合與秩至少為r-1，權重為n+r的分拆集合。 在第五章，通過重新定義一些特殊分拆的