能量超臨界Schr_dinger方程和Klein-Gordon-型方程的散射理論.pdf

1、本論文致力于利用Littlewood-Paley理論、集中緊致原理的profile刻畫等現(xiàn)代調和分析方法來研究非聚焦型能量超臨界非線性Schr(o)dinger方程和能量次臨界與能量臨界Klein-Gordon-Hartree型方程的散射理論.散射性理論的研究起源于Segal[81]中的一個猜想.從上世紀七八十年代起，非線性色散方程的散射理論就是現(xiàn)代偏微分方程和物理學界研究領域中被廣泛研究的熱點問題，可參見Cazenave[13]和Ta

2、o[90]等人的專著.從物理的角度來看，關于散射理論的研究是科學家們研究和探測微觀自然界的一種非常行之有效的方法，對量子物理學、化學、生物學等諸多自然科學的研究都有重要的促進作用.例如水波、激波的傳播和衰減，導致發(fā)現(xiàn)DNA的X射線晶體學;X線斷層攝影術和利用聲納對水下物體進行的探測等等，這些都需要通過研究粒子或波的散射性來獲得.從數(shù)學的角度來看，散射理論研究的是非線性色散方程Cauchy問題的解的長時間性態(tài)問題.具體地說，散射理論是在非

3、線性色散方程Cauchy問題的解整體存在的前提下，研究當時間t趨于正無窮大（或負無窮大）時，非線性問題的解在某種意義下是否趨于相應自由方程問題的解.
　　本文共分五章:第一章為引言，我們以Schr(o)dinger方程為例介紹散射理論的基本研究內容并引入本論文中用到的一些基本工具.第二章研究四維非聚焦能量超臨界Schr(o)dinger方程的散射理論;第三章研究非聚焦能量超臨界Hartree方程的散射理論;第四章研究非聚焦能量臨界

4、wave-Hartree的散射理論;第五章研究Klein-Gordon-Hartree型方程在能量空間中的散射理論.具體內容如下:
　　第二章主要利用集中緊性方法[38]、長時間Strichartz估計[21]及頻率局部化的相互作用Morawetz不等式[19]等方法來研究如下四維非聚焦能量超臨界Schr(o)dinger方程的Cauchy問題
　　{(i(o)t+△)u=|u|pu,(t,x)∈R×R4(1)u(0,x)=

5、u0(x)∈Hsc(R4),
　　的整體適定性和散射理論.其中u:Rt×R4x→C，sc=2-2/p.由于我們考慮sc＞1，因此稱問題(1)為能量超臨界.主要結果:假設1＜sc＜3/2，若u:I×R4→C為方程(1)的極大生命區(qū)間解且滿足u∈L∞t(H.)scx(I×R4)，那么u為整體解并散射，即存在唯一的u±∈(H.)scxc(R4)使得lim/t→±∞||u(t，x)-eit△u±||(H.)sc(R4)=0.(2)

6、　　在第三章中，我們利用集中緊性方法、相互作用Morawetz不等式和‘雙Duhamel技術’來研究非聚焦能量超臨界Hartree方程的Cauchy問題
　　{iut+△u-（|x|-γ*|u|2）u=0，(t，x)∈R×Rd,(3)u(0,x)=u0(x)∈(H.)sc(Rd),的散射理論.其中u為R1+d上的復值函數(shù)，sc:=γ/2-1＞1，即γ＞4，且維數(shù)d＞γ.主要結論:設維數(shù)d＞γ＞4，若u:I×Rd→C為問題(3)的極

7、大生命區(qū)間解且滿足:||u||Lt∞(I:(H.)sxc(Rd))＜+∞，那么，解u整體適定且散射.
　　證明的基本思路:利用集中緊性方法將整體適定且散射的證明歸結為排除三類敵人:有限時刻爆破解、孤立子-型解以及低高頻率cascade解.首先，通過’No-waste Duhamel公式’可以得到有限時刻爆破解的能量為零，從而排除有限時刻爆破解.然后利用‘雙Duhamel技術’、相互作用Morawetz估計和插值可以排除剩下的兩類敵

8、人.從而獲得整體適定性和散射理論.
　　在第四章中，我們利用集中緊性方法和Morawetz不等式來研究非聚焦能量臨界wave-Hartree方程的Cauchy問題
　　{utt-△u+(|x|-4*|u|2)u=0,(t,x)∈R×Rd,d≥5(4)(u(0)，ut(0))=(u0(x),u1(x))∈(H.)1(Rd)×L2(Rd),的散射理論.其中u(t，x)為R×Rd上的實值函數(shù).這也為研究非聚焦能量臨界Klein-G

9、ordon-Hartree方程的散射理論做鋪墊.主要結果:設d≥5，初值(u0，u1)∈(H.)1(Rd)×L2(Rd)，那么，問題(4)的解u(t)整體適定且散射.這里的主要困難是方程(4)不具有有限傳播速度的性質.
　　在第五章中，我們利用集中緊性方法、Morawetz不等式和變分法來研究Klein-Gordon-Hartree方程的Cauchy問題
　　{utt-△u+u+μ（|x|-γ*|u|2）u=0，(t，x)∈

10、R×Rd， d≥3，(5)u(0,x)=u0(x),ut(0,x)=u1(x),的散射理論.其中u(t，x)為R×Rd上的實值函數(shù)，2＜γ＜ min{4，d}，或γ=4且d≥5;這里μ∈{-1，1}，μ=1對應于非聚焦情形，而μ=-1對應于聚焦情形.非聚焦情形的主要結果:若2＜γ＜ min{4，d}，或γ=4且d≥5;初值（u0，u1）∈H1×L2，那么，方程(5)存在唯一的整體解u(t)，且解u散射.
　　而對聚焦情形:μ=-1

11、，我們有:對d≥3，2＜γ＜min{d，4}，初值(u0，u1)∈H1×L2為徑向并且能量滿足:E(u0，u1)＜E(W，0)(這里W為橢圓方程Q-△Q=(|x|-γ*|Q|2)Q的基態(tài)），設u:(-T_(u0，u1)，T+(u0，u1)）×Rd→R為(5)的極大生命區(qū)間解，
　　(i)若||▽u0||；+||u0|h2/2＜||▽W||2/2+||W||2/2,則u整體適定且散射.
　　(ii)若||u0||22+||u0