非線性KleiN-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的高階差分格式.pdf

1、Klein-Gordon方程作為Schr(o)dinger方程的相對論形式，在數(shù)學(xué)物理中有著至關(guān)重要的作用，它涉及一些非線性方程的研究.由于該問題一般無法求出其解析解，因此，只能用數(shù)值方法求其數(shù)值解.要對它進(jìn)行數(shù)值分析，必然會造成一定的誤差，從而影響研究結(jié)果，那么采用高精度的數(shù)值方法是非常必要的.近年來一些學(xué)者對Klein-Gordon方程的高精度算法做了相關(guān)研究，但是對于用高精度的有限差分方法離散Klein-Gordon方程的工作相對

2、較少.
　　本文主要研究非線性Klein-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的高階差分格式.
　　文章共分為三章.
　　第一章介紹本文所研究問題的實(shí)際意義、研究現(xiàn)狀以及本文的研究內(nèi)容和結(jié)果.
　　第二章研究一維非線性Klein-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的數(shù)值解.我們首先利用邊界條件及方程得到ux(3)和ux(5)在邊界處的值，進(jìn)而分別在內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)處建立三點(diǎn)和兩點(diǎn)緊差分格式，其截斷誤差為O(τ2

3、+h4).之后進(jìn)行理論分析.由于文中的g(u)，f存在有界性限制，從而可以用數(shù)學(xué)歸納法對差分格式進(jìn)行分析.借助于能量估計、Gronwall不等式、Schwarz不等式等技巧，最終得到差分格式在無窮范數(shù)下的收斂性和穩(wěn)定性.最后進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn).通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了我們所得結(jié)論的正確性.
　　第三章研究二維非線性Klein-Gordon方程N(yùn)eumann邊值問題的數(shù)值解.類似于一維的情況，我們利用邊界條件及方程得到u的三階偏導(dǎo)數(shù)和五階偏導(dǎo)數(shù)