用字母表示數(shù)_教學(xué)設(shè)計(jì)_穆曉東

1、湖 南 教 育2 0 0 8年 7月 號(hào) 3 8教學(xué)目標(biāo)1 . 理解用字母可以表示數(shù)或數(shù)量； 初步體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言和文字符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換， 知道含有字母的式子的規(guī)范寫法和表示方法.2 . 從具體的數(shù)據(jù)和圖形出發(fā)經(jīng)歷從具體到抽象、 特殊到一般的一個(gè)探究規(guī)律的過(guò)程， 并能用字母表示出變化的規(guī)律.3 . 從已知運(yùn)算律和計(jì)算公式出發(fā)進(jìn)一步理解字母表示數(shù)的含義及數(shù)量之間的關(guān)系.4 . 從比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)史中了解字母表示數(shù)的發(fā)展歷程，從具體的情境中產(chǎn)生問(wèn)題

2、進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣， 萌發(fā)解決問(wèn)題的欲望， 促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)， 和諧發(fā)展.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)用字母表示數(shù)的意義教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、 創(chuàng)設(shè)情境， 引入課題1 . 出示圖片問(wèn)： 你知道它表示的內(nèi)容嗎？從圖片中能讀出什么信息？ （簡(jiǎn)單地介紹幾個(gè)符號(hào)表示的意思， 盡量讓學(xué)生產(chǎn)生好奇心）介紹背景： 這是在距今三千六百年前的萊因德紙草文書中， 古代埃及人寫下的一串符號(hào)， 這是他們用日常的象形文字來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容. 這樣的數(shù)學(xué)式子不僅難以讀懂， 而且是含糊

3、不清的， 很難體現(xiàn)出數(shù)字之間的關(guān)系，因而使用起來(lái)頗不方便. 這是代數(shù)學(xué)發(fā)展的最初階段，進(jìn)入十六世紀(jì)后， 科學(xué)技術(shù)發(fā)展得很快， 對(duì)數(shù)學(xué)提出了更多更高的要求. 為了節(jié)省書寫時(shí)間， 數(shù)學(xué)家們開(kāi)始大量地使用字母和創(chuàng)設(shè)符號(hào). 如， 1 4 8 9 年德國(guó)數(shù)學(xué)家魏德曼在書中第一次運(yùn)用 “+ ” 、 “- ” 號(hào)作為加減運(yùn)算的符號(hào)，1 6 3 1 年英國(guó)數(shù)學(xué)家郝銳奧特創(chuàng)用 “>” 、 “<” 號(hào)， 等等.遺憾的是， 人們?cè)谑褂眠@些字母和符

4、號(hào)時(shí)， 并沒(méi)有意識(shí)到它的重要性， 往往是隨心所欲地加以采用， 沒(méi)有公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)， 各自為政， 誰(shuí)愛(ài)怎樣用就怎樣用， 結(jié)果數(shù)學(xué)符號(hào)五花八門， 混亂不堪. 第一個(gè)有意識(shí)地、 系統(tǒng)地使用字母和符號(hào)的人是韋達(dá). 他并不是一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)家，但他很喜歡數(shù)學(xué)， 他的業(yè)余時(shí)間幾乎都用于研究數(shù)學(xué)問(wèn)題. 他意識(shí)到了使用字母和符號(hào)對(duì)代數(shù)學(xué)的意義， 所以他精心選擇代數(shù)符號(hào)， 力圖使其成為一個(gè)體系. 盡管很不完善， 但已經(jīng)能夠用字母進(jìn)行運(yùn)算了. 他不僅用字母表示未

5、知數(shù)， 還用它來(lái)表示已知數(shù)和一般的系數(shù)， 所以當(dāng)韋達(dá)研究一個(gè)用字母表示的代數(shù)方程時(shí)， 實(shí)際上處理的是整個(gè)一類的表達(dá)式. 在韋達(dá)時(shí)期上面的式子就演變成了這樣一個(gè)式子：x i n 2 3+12+17+ 1 a e q u a l i a 3 7其中， 韋達(dá)在數(shù)字上劃上橫線用來(lái)表示括號(hào). 很明顯， 除了不夠精練以外， 韋達(dá)的式子與現(xiàn)在的已沒(méi)太多本質(zhì)的區(qū)別了.用字母代替數(shù)字后， 數(shù)學(xué)概念間的邏輯關(guān)系就被深刻地披露了出來(lái)， 它使得高度抽象的數(shù)學(xué)材

6、料開(kāi)始有了合適的表達(dá)式，使代數(shù)的方法開(kāi)始獲得普遍的意義. 不僅如此，它也開(kāi)始為其他自然科學(xué)提供了最精練的語(yǔ)言， 為代數(shù)學(xué)的發(fā)展指明了方向， 使它成為一門成熟的科學(xué). 又經(jīng)過(guò)了數(shù)百年， 在數(shù)學(xué)家們不懈的努力下， 符號(hào)體系才趨于完整. 到了十九世紀(jì)時(shí)， 便完全定型并一直沿用至今， 它成為當(dāng)今各國(guó)通用的一種特殊的 “世界語(yǔ)言” . 于是就有了下面的式子： x （ 23+12+17+ 1 ） = 3 7 . 這個(gè)式子只要學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人， 無(wú)論是哪

7、個(gè)國(guó)家， 無(wú)論什么民族， 無(wú)論使用什么語(yǔ)言都能看得懂.2 . 生活中的字母“用字母表示數(shù)” 教學(xué)設(shè)計(jì)課堂鏈接K E T A NGL I A NJ I E穆曉東1 楊曉梅2（1 . 華東師范大學(xué) 上海 2 0 0 0 6 22 . 上海市開(kāi)元學(xué)校 上海 2 0 0 0 6 2 ）1 2 3 4 5 ? 9 1 0 ? n小正方形的個(gè)數(shù) 1 4 9 ? ?（3 ） 試一試： 用火柴棒做如下實(shí)驗(yàn)：第1 個(gè) 用 3 根 ， 第2 個(gè) 用 6 根

8、 ， 第3 個(gè) 用 9 根 .如果要搭出第2 0 個(gè)三角形需 根火柴棒；如果要搭出第3 0 個(gè)三角形需 根火柴棒；??如果要搭出第n 個(gè)三角形需 根火柴棒.給了幾個(gè)有規(guī)律的圖形后我們能看出它的變化規(guī)律， 對(duì)于一組數(shù)據(jù)我們能找出它們的變化規(guī)律嗎？（4 ） 找一找： 探索找規(guī)律， 寫出第8 項(xiàng)和第n 項(xiàng).①1 ×2 ， 2 ×3 ， 3 ×4 ， 4 ×5 ， ?， 第8 項(xiàng)是 ， 第n 項(xiàng)是 .②1

9、 5 ， 2 5 ， 3 5 ， 4 5 ， ?， 第8 項(xiàng)是 ， 第n 項(xiàng)是 .③1 1 2 ， 3 1 4 ， 5 1 6 ， 7 1 8 ， ?， 第8 項(xiàng)是 ， 第n 項(xiàng)是 .（以上式子中的n 表示的是正整數(shù)）從以上的例題和練習(xí)中我們可以看出， 一個(gè)字母不僅可以表示任意的數(shù)或者是數(shù)量， 表示的數(shù)可以是變化的也可以是不變的， 還可以反映出一些事物、 圖形和數(shù)據(jù)的變化規(guī)律. 但往往在很多情況下一個(gè)字母是不夠用的， 經(jīng)常需要用多個(gè)字母

10、來(lái)表示多個(gè)數(shù)或數(shù)量之間的關(guān)系. 請(qǐng)看—— —三、 用多個(gè)字母表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系1 . 下面的等式運(yùn)用了什么運(yùn)算律？2 +3 =3 +2 ； 2 . 1 + （-4 . 2 ） = （-4 . 2 ） +2 . 1 .我們知道加法交換律對(duì)任意兩個(gè)數(shù)都是成立的， 同學(xué)們能將滿足加法交換律的所有數(shù)都列舉完嗎？ 如果我們用字母來(lái)表示這一規(guī)律就可寫成： a + b = b + a （a 、 b 表示任意有理數(shù)） . 在這個(gè)式子里， 我們用了兩個(gè)字母

11、來(lái)表示兩個(gè)數(shù)， 這兩個(gè)數(shù)可以是相同的也可以是不同的， 它看起來(lái)比較美觀、 簡(jiǎn)潔、 工整， 還存在一種對(duì)稱的美， 這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的式子表示了這樣一個(gè)內(nèi)容： “兩個(gè)數(shù)相加， 交換加數(shù)的位置， 和不變. ” 這是數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的語(yǔ)言， 其豐富的內(nèi)涵是沒(méi)有學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人體會(huì)不到的.請(qǐng)同學(xué)們寫出乘法對(duì)加法的分配律： 兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘的積，等于每一個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積加起來(lái). a （b + c ） = a b + a c .這里要注

12、意的是兩個(gè)字母相乘時(shí)，乘號(hào)是省略的，不分先后順序， 但我們習(xí)慣上按字母的順序書寫， 如x y 、a b c 等. 類比加法交換律的敘述， 你能把乘法分配律也完整地?cái)⑹龀鰜?lái)嗎？這個(gè)式子用語(yǔ)言敘述的話要繁雜得多， 上面我們看到用字母還可以表示運(yùn)算律， 想一想我們用字母還可以表示什么呢？ 可以在黑板上畫出一個(gè)三角形提醒學(xué)生還可以用字母表示一些特殊圖形的面積、 周長(zhǎng)等. 針對(duì)畫出的三角形提問(wèn)， 它的面積怎樣求？這些字母都代表了哪些量？接著再畫一

13、個(gè)正方形由學(xué)生敘述它的面積、 周長(zhǎng)等. 下面請(qǐng)學(xué)生根據(jù)給出的圖形求有關(guān)面積.2 . 下圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a 、 b 的正方形組成的圖形， 用字母表示下列圖形中陰影部分的面積的計(jì)算公式.3 . 同樣我們還可以用字母表示其他一些圖形的面積等. 請(qǐng)同學(xué)們完成下面的填空題.（1 ） 如果長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為C ， 它的長(zhǎng)為a ， 那么長(zhǎng)方形的寬是 .（2 ） 如果圓的半徑為r ， 那么它的周長(zhǎng)是 ， 面積是 .（3 ） 如果扇形的半徑為r ， 圓心

14、角是n ° ， 則它的面積是 ， 它的弧長(zhǎng)是 .由以上可知字母可以表示運(yùn)算律， 也可以表示特定意義的公式. 有些數(shù)量之間的關(guān)系用含有字母的式子表示后， 看上去更加簡(jiǎn)明， 更具有普遍意義了. 總之， 字母可以簡(jiǎn)明地將數(shù)量關(guān)系表示出來(lái).四、 驗(yàn)證結(jié)論： 下面我們大家一起討論完成這樣一個(gè)任務(wù).想一想： 如右圖， 一個(gè)人要從A 到B ， 他可按①號(hào)箭頭所表示的路線走，也可以按②號(hào)箭頭所表示的路線走. 按哪條路線走近些？為什么？分析：設(shè)

15、最大的半圓直徑A B 的長(zhǎng)度為d ，三個(gè)小的半圓的直徑長(zhǎng)分別為d 1 、 d 2 、 d 3 .由題意可知： d = d 1 + d 2 + d 3 .按①號(hào)箭頭所示的路線走，需要行路線①的路程=π d 2. 按②號(hào)箭頭所示的路線走， 需要行路線②的路程=π d 12 + π d 22 + π d 32 = π × （d 1 + d 2 + d 3 ）2 .可見(jiàn)， 按照題目中所指的兩條路線走， 所走的路程同樣長(zhǎng). 如果不用字母