韋達(dá)定理及應(yīng)用專題(二次方程提升專用教師版)doc

1、1韋達(dá)定理及應(yīng)用專題 韋達(dá)定理及應(yīng)用專題解題方法及提分突破訓(xùn)練 姓名： 韋達(dá)，1540 年出生于法國的波亞圖，早年學(xué)習(xí)法律，但他對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，常利用業(yè)余時(shí)間鉆研數(shù)學(xué)。韋達(dá)是第一個(gè)有意識地、系統(tǒng)地使用字母的人，他把符號系統(tǒng)引入代數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用，使人類的認(rèn)識產(chǎn)生了飛躍。人們?yōu)榱思o(jì)念他在代數(shù)學(xué)上的功績，稱他為“代數(shù)學(xué)之父” 。歷史上流傳著一個(gè)有關(guān)韋達(dá)的趣事：有一次，荷蘭派到法國的一位使者告訴法國國

2、王，比利時(shí)的數(shù)學(xué)家羅門提出了一個(gè) 45 次的方程向各國數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)。國王于是把這個(gè)問題交給韋達(dá)，韋達(dá)當(dāng)即得出一正數(shù)解，回去后很快又得出了另外的 22 個(gè)正數(shù)解（他舍棄了另外的 22 個(gè)負(fù)數(shù)解） 。消息傳開，數(shù)學(xué)界為之震驚。同時(shí)，韋達(dá)也回敬了羅門一個(gè)問題，羅門一時(shí)不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出來。韋達(dá)研究了方程根與系數(shù)的關(guān)系，在一元二次方程中就有一個(gè)根與系數(shù)之間關(guān)系的韋達(dá)定理。你能利用韋達(dá)定理解決下面的問題嗎？一 真題鏈接 真題

3、鏈接1.（2012?蘭州）若 x1、x2 是關(guān)于一元二次方程 的兩個(gè)根，則方程 ) 0 ( 0 2 ? ? ? ? a c bx ax的兩個(gè)根 x1、x2 和系數(shù) a、b、c 有如下關(guān)系 =- ab= ac把它稱為一元二次方程 2 1 x x ? 2 . 1 x x根與系數(shù)關(guān)系定理．如果設(shè)二次函數(shù) 的圖象與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A ) 0 ( 2 ? ? ? ? a c bx ax y（ ，0） ，B（ ，0） ．利用根與系數(shù)關(guān)系定理可

4、以得到 A、B 連個(gè)交點(diǎn)間的距離為： 1 x 2 x參考以上定理和結(jié)論，解答下列問題：設(shè)二次函數(shù) （a＞0）的圖象與 x 軸的兩 c bx ax y ? ? ? 2個(gè)交點(diǎn) A（ ，0） ，B（ ，0） ，拋物線的頂點(diǎn)為 C，顯 1 x 2 x然△ABC 為等腰三角形．（1）當(dāng)△ABC 為直角三角形時(shí)，求 b2-4ac 的值；（2）當(dāng)△ABC 為等邊三角形時(shí)，求 b2-4ac 的值．3(1) 2 21 2 x x ? ； (2) 1 2

5、1 1x x ? ； (3) 1 2 ( 5)( 5) x x ? ? ； (4) 1 2 | | x x ? ．說明： 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：2 2 21 2 1 2 1 2 ( ) 2 x x x x x x ? ? ? ? ， 1 21 2 1 21 1 x xx x x x? ? ? ， 2 21 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4 x x x x x x ? ? ? ? ，21 2 1

6、2 1 2 | | ( ) 4 x x x x x x ? ? ? ? ， 2 21 2 1 2 1 2 1 2 ( ) x x x x x x x x ? ? ? ，3 3 31 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 ( ) x x x x x x x x ? ? ? ? ? 等等．韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想．（2）構(gòu)造新方程 ）構(gòu)造新方程理論：以兩個(gè)數(shù) 為根的一元二次方程是 。例 解方程組 x+y=5Xy=6