“回歸”詞的由來

1、“回歸”一詞的由來“回歸”一詞的由來袁摘自《北京》衛(wèi)統(tǒng)計1998年第9期在統(tǒng)計學中，相關(guān)與回歸是經(jīng)典的內(nèi)容，也是應(yīng)用最為廣泛的統(tǒng)計方法之一。但是，國內(nèi)教材卻很少講到回歸方法的起源。英國著名遺傳學家弗朗西斯高爾頓爵士（SirFrancisGalton18221911）在子女與父母相像程度遺傳學研究方面，取得了重要進展。高爾頓的學生卡爾皮爾遜（KarlPearson18571936）在繼續(xù)這一遺傳學研究的過程中，測量了1078個父親及其成年

2、兒子的身高。他們之間的數(shù)量關(guān)系見圖1（K.PearsonA.Lee，“Onthelawsofinheritanceinman”Biometrika，partii（1903）pp.357462）圖11078對父子身高的散點圖對父子身高的散點圖圖中每一個點代表一對父子的身高關(guān)系。橫軸的X坐標是父親的身高，縱軸的Y坐標給出的是兒子的身高。我們看到，多數(shù)點子位于角平分斜線的兩側(cè)橢圓形面積之內(nèi)，落在斜線上的點子極少，即兒子與父親身高完全相同的極少

3、。由點子落在斜線周圍還說明，高個子的父親有著較高身材的兒子，而矮個子父親的兒子身材也比較矮。同時，我們也看到一些遠離斜線的點子，這些點子反映的是父親的身高與兒子的身高相差甚遠的情況。比如高個子的父親有矮兒子的情況，或者矮父親有高個兒子的情況。圖1中散點圖給出父子身高的關(guān)系圖，但圖中給出的父親身高和兒子身高兩個變量的關(guān)系還是比較直觀的相關(guān)系數(shù)r就是對兩個變量間線性相關(guān)關(guān)系緊密程度的度量。相關(guān)系數(shù)r的計算公式為：??????YXYXYXYX

4、EYXCovr????????????式中分子部分為X和Y兩具變量的協(xié)方差，分母部分是X和Y兩個變量標準差的乘積。由于協(xié)方差是X和Y兩個變量與其均值離差乘積的數(shù)學期望，它受X和Y兩個變量度量單位大小的影響，因而在分母上除以X和Y兩個變量的標準差，就將相關(guān)系數(shù)r轉(zhuǎn)化成從1到1之間的相對數(shù)值。實際數(shù)據(jù)計算的結(jié)果為r=0.501，表明高個子的父親會有較高的兒子，矮身材的父親其兒子身體也不會很高，但這一正相關(guān)的關(guān)系并不十分明顯。那么，父子身高之

5、間有什么規(guī)律呢？經(jīng)過對1078對父子身高數(shù)據(jù)的計算，得到：????????22xiiiSYXCovXXYYXXb???????XbYa??由于已知r=0.501，SX=2.74，SY=2.81，則3.862.812.740.501SSrY)Cov(XYX???????則??51.074.286.32??b34.2267.60.5168.7a???父子身高的回歸方程為i0.51X34.22???iY該回歸方程就是圖2中的回歸線（實線）。當

6、X1=58時，iY?=63.8；當X2=64時，2?Y=66.86。當X3=72時，3?Y=70.94。這些回歸方程上的iY?值實際上是當Xi確定后，若干Yi的平均值。這一回歸直線和回歸方程表明，矮個子父親的兒子們平均身高會比父輩低一些，高個子父親的兒子們平均身高會比父輩低一些，即兒子們的身高會向平均值回歸。我們的讀者必然會問，現(xiàn)代人一代比一代高，為什么高個子父親的兒子們平均身高要比父輩低呢？細心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，當時高爾頓和皮爾遜做研究

7、時只觀察了父親和兒子的身高，并沒有考慮母親的身高。實際上，高個子父親的太太可能是較高的女性，也可能是較低的女性。反之，矮個子父親的太太可能是矮個子，也可能是較高的身材。而兒子的身高既受父親遺傳的影響，也受母親遺傳的影響，這就是為什么兒子們身高會發(fā)生“回歸”的原因。類似的回歸現(xiàn)象還有很多，比如我們連續(xù)觀察一群學生春秋兩季的考試成績，會發(fā)現(xiàn)春季考試得高分的學生在秋季考試中雖然平均分還比較高，但平均分會有所降低。反之，春季考試分數(shù)最低的學生們