2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽國家一等獎?wù)撐?c題古塔的變形

1、1古塔的變形古塔的變形摘要摘要本文要求根據(jù)測繪公司對古塔的4次測量數(shù)據(jù)，給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并分析古塔的變形情況及其變形趨勢。為了計算的精度，我們首先對各變形量進(jìn)行了合理的數(shù)學(xué)定義，并對附錄的缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的賦值。對于問題一，我們通過最小二乘法擬合出觀測點所在平面，再建立優(yōu)化模型，在擬合平面上尋找到各觀測點距離的平方和最小的點作為古塔該層的中心點。利用MATLAB編程求解，得到了每次觀測古塔各層中心坐標(biāo)的通用方法及各層

2、的中心點坐標(biāo)。對于問題二，我們將古塔的傾斜、彎曲和扭曲等變形情況，分別給予合理的數(shù)學(xué)描述。對于傾斜變形，我們定義了傾斜角?，即塔尖與底層中心的水平距離與塔高的比值；對于彎曲變形，我們定義了彎曲率K，即用中心點所擬合出的空間曲線的曲率來描述古塔各處彎曲率；對于扭曲變形，我們定義了相對扭曲度?，利用坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換角度描述古塔的扭曲變形情況。利用空間曲線擬合、坐標(biāo)變換等方法以及MATLAB程序，分別求出了三個變形刻畫量的量化指標(biāo)。對于問題三，

3、我們考慮通過古塔的傾斜、彎曲及扭曲程度來分析古塔的變形趨勢。由于數(shù)據(jù)量較少，我們建立灰色預(yù)測模型分析這三種變形因素的變化趨勢，利用相應(yīng)的MATLAB程序，得到了傾斜角、彎曲率以及相對扭曲度的預(yù)測函數(shù)和誤差檢驗，驗證了模型的可靠性，并繼而分析古塔的變形趨勢。本文巧妙地將各種變形量給予了合理的數(shù)學(xué)描述及模型，并運用最小二乘法、曲線投影擬合、坐標(biāo)變換等數(shù)學(xué)方法實現(xiàn)了求解，并利用灰色預(yù)測對未來變形趨勢進(jìn)行了預(yù)測，具有較好的實用性和可推廣性。關(guān)鍵

4、詞：關(guān)鍵詞：古塔變形；最小二乘擬合；空間曲線曲率；坐標(biāo)矩陣變換；灰色預(yù)測；3（1213i??，128j??，1234k?）；()()()iiizAkxBkyCk???：第k次測量時第i層觀測點的擬合平面方程（1213i??，1234k?）；()Hk：第k次測量時古塔的塔高（1234k?）；()dk：第k次測量時古塔的塔尖與塔的底層中心的水平距離（1234k?）；()k?：第k次測量時古塔的傾斜角（1234k?）；21112222()()

5、()()()()()()()kkkxtaktbktckytaktbktckztt????????????：第k次測量時古塔各層中心點的擬合曲線（1234k?）；kK：第k次測量時古塔的彎曲率（1234k?）；()ijk?：第k次測量時古塔第i層第j個觀測點相對于上次測量的扭曲度（1213i??，128j??，234k?）；()ik?：第k次測量時古塔第i層相對于上次測量的平均扭曲度（1213i??，234k?）；(()())iipkqk