工程圖學第三章 換面法

1、第三章 投影變換－換面法,本章介紹投影變換，僅介紹變換投影面法，它是解決空間幾何元素定位和度量的一種簡單有效的方法。圖解問題的難易程度不僅取決于問題本身的復雜程度，而且在很大程度上．還取決于幾何元素與投影面以及投射方向的相對位置。,一般位置元素和特殊位置元素求解方法比較,換面法基本原理,投影變換基本方法：1、換面法2、旋轉(zhuǎn)法,換面法,一、問題的提出,★ 如何求一般位置直線的實長？★ 如何求一般位置平面的真實大小？,換 面 法

2、： 物體本身在空間的位置不動，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對新的投影面處于解題所需要的有利位置，然后將物體向新投影面進行投射。,解決方法：更換投影面。,二、新投影面的選擇原則,1. 新投影面必須對空間物體處于最有利的解 題位置。,? 平行于新的投影面? 垂直于新的投影面,2. 新投影面必須垂直于某一保留的原投影面， 以構(gòu)成一個相互垂直的兩投影面的新體系。,⒈ 更換一次投影面,

3、A點的兩個投影：a， a?,A點的兩個投影：a，a1,⑴ 新投影體系的建立,三、點的投影變換規(guī)律,ax1,,,,,?,?,?,V,H,X,P1,H,X1,a?,a,a1,,,,,,,V,H,A,,a,?,?,?,ax,X,,,a1,ax1,,?,⑵ 新舊投影之間的關系,? aa1 ? X1,? a1ax1 = a?ax,? 點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影 到原投影軸的距離。,ax,a?,?,?,?,?,?,一般規(guī)

4、律：,? 點的新投影和與它有關的原投影的連線，必垂直 于新投影軸。,,.,,更換H面,⑶ 求新投影的作圖方法,,,,?,?,V,H,X,由點的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。,a,a?,ax,ax1,ax1,更換V面,作圖規(guī)律：,⒉ 更換兩次投影面,⑴ 新投影體系的建立,按次序更換,,,A,a,,,,V,H,a?,ax,X,,?,?,?,,,?,a?,a,X,V,H

5、,?,⑵ 求新投影的作圖方法,作圖規(guī)律 a2a1 ? X2 軸 a2ax2 = aax1,ax,四、換面法的四個基本問題,1. 把一般位置直線變換成投影面平行線,,,用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。,,空間分析：,不行！,作圖：,新投影軸的位置？,與ab平行。,,2. 把一般位置直線變換成投影面垂直線,空間分析：,,,,,,,a?,b?,a,b,X,V,H,作圖：,二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。,X

6、2軸的位置？,與a1b1垂直,一次換面把直線變成投影面平行線；,一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？,3. 把一般位置平面變換成投影面垂直面,如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。,空間分析：,在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。,作圖方法：,能否只進行一次變換？,思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？,正平線！,α,,

7、,,,,,a?,b?,c?,a,c,b,X,V,H,例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。,,,,,作 圖 過 程：,★ 在平面內(nèi)取一條水平 線AD。,★ 將AD變換成新投影 面的垂直線。,反映平面對哪個投影面的夾角？,,一次換面, 把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。,,,,4. 把一般位置平面變換成投影面平行面,,,,,,,a,b,a?,c?,b?,X,V,H,c

8、,作 圖：,AB是水平線,空間分析：,,,X2軸的位置？,平面的實形,,與其平行,距離,,,,,,,d1,,,,五、換面法的應用,如下圖：當直線AB垂直于投影面時，CD平行于投影面，其投影反映實長。,作圖:,求C點到直線AB的距離，就是求垂線CD的實長。,空間及投影分析：,,過c1作線平行于x2軸。,,,,,,b?,a?,,,a,b,c,d,,,,,,,,,,,,,,例2：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長度 為MN，

9、 且AB為水平線，求CD及MN的投影。,空間及投影分析：,,,V,H,X,,圓半徑=MN,作圖：,請注意各點的投影如何返回？,求m點是難點。,,空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實大（60°），因此需將AB與C點所確定的平面變換成投影面平行面。,例3: 過C點作直線CD與AB相交成60º角。,,,,,,,,,,,,,,,a,b,a?,c?,b?,X,V,H,c,,,作 圖：,●,

10、●,,幾個解？,兩個解！,已知點C是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線AB上，求等邊三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,D點的投影如何返回？,,,,,,,,V,H,X,例4：求平面ABC和ABD的兩面角。,空間及投影分析：,由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直相交時所得兩交線之間的夾角。,在投影圖中, 兩平面的交線垂直于投影面時，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求。,? 小

11、 結(jié) ?,本章主要介紹了投影變換的一種常用方法 ——換面法。,一、 換面法就是改變投影面的位置，使它與所給物 體或其幾何元素處于解題所需的特殊位置。,二、 換面法的關鍵是要注意新投影面的選擇條件， 即必須使新投影面與某一原投面保持垂直關系， 同時又有利于解題需要，這樣才能使正投影規(guī) 律繼續(xù)有效。,三、點的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎，四個基本

12、 問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。,換面法的四個基本問題：,,2. 把一般位置直線變成投影面垂直線,1. 把一般位置直線變成投影面平行線,3. 把一般位置平面變成投影面垂直面,4. 把一般位置平面變成投影面平行面,變換一次投影面,變換一次投影面,變換兩次投影面,變換兩次投影面,需先在面內(nèi)作一條投影面平行線,四、解題時一般要注意下面幾個問題：,⒈ 分析已給條件的空間情況，弄清原始條件中 物體與原投影面的相