福利經(jīng)濟(jì)學(xué)定理數(shù)學(xué)證明

1、附錄附錄2A.1：偏好，效用函數(shù)和需求函數(shù)：偏好，效用函數(shù)和需求函數(shù)如果消費(fèi)者的偏好是理性的（完備的和傳遞的），連續(xù)的，那么就存在著一個(gè)能代表該偏好的連續(xù)效用函數(shù)。其中L表示消費(fèi)集的維度，也就是商品的種類，除非:Lu??RR做特別說明，我們總是假定，即消費(fèi)者消費(fèi)和兩種商品。我們還假定偏好是單2L?1x2x調(diào)的和凸的，則效用函數(shù)u是遞增的和擬凹的。給定上述假定，我們能夠得到一組形狀良好的無差異曲線，如圖2A－1，消費(fèi)者的無差異曲線是一組凸

2、向原點(diǎn)的曲線，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，其代表的效用水平越高1。Ox1x2|斜率|＝MRS圖2A－1無差異曲線無差異曲線一個(gè)常用的符合上述假定的效用函數(shù)是柯布－道格拉斯效用函數(shù)，其形式是：1212()uxxAxx???其中。顯然，u是連續(xù)的，遞增的，凹的。00101A???????一個(gè)理性的消費(fèi)者面臨的問題是在約束條件下追求效用最大化。其約束條件為：1122pxpxw??其中，為兩種商品的市場(chǎng)價(jià)格，w則表示消費(fèi)者的財(cái)富（或收入）。給定偏好的單調(diào)12p

3、p性，這一約束一定是緊的，也就是。1122pxpxw??則消費(fèi)者的效用最大化問題可以描述為：12max()xuxx1122..stpxpxw??上述問題的拉格朗日函數(shù)可以寫為：121122()()Luxxwpxpx?????這一問題的一階條件為：，11upx????22upx????假定效用函數(shù)是凹的，上述條件是充分必要的。兩式相除，得到：1212uuppxx?????1關(guān)于偏好，以及偏好與效用效用函數(shù)關(guān)系的進(jìn)一步討論，參見馬斯－克萊爾

4、等人，《微觀經(jīng)濟(jì)理論》，中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社，2001年版；瓦里安，《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)（高級(jí)教程）》，經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，1997年版。，這意味僅僅是相對(duì)價(jià)格的函數(shù)，與財(cái)富水平無關(guān)。給定相對(duì)價(jià)格不變，財(cái)富的變化只2x會(huì)改變消費(fèi)者對(duì)的消費(fèi)數(shù)量，而不會(huì)改變她對(duì)的消費(fèi)數(shù)量。1x2x假定，則有：，。22()lnxx??212xpp?111xwp??擬線性偏好非常重要，在公共經(jīng)濟(jì)學(xué)，特別是公共產(chǎn)品和外部性理論中有廣泛的應(yīng)用。附錄附錄2A.2：生產(chǎn)集，生產(chǎn)函數(shù)

5、，成本函數(shù)和生產(chǎn)可能性邊界：生產(chǎn)集，生產(chǎn)函數(shù)，成本函數(shù)和生產(chǎn)可能性邊界現(xiàn)在我們考察企業(yè)的行為。企業(yè)總是在特定的技術(shù)約束下將投入品轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品，從而可行的生產(chǎn)計(jì)劃總是受到特定技術(shù)的約束。我們把在技術(shù)上可行的所有的投入和產(chǎn)出組合（生產(chǎn)計(jì)劃）的集合稱作生產(chǎn)集，通常用Y表示。如圖2A－2，假定只有一種投入品z，一種產(chǎn)品y，圖中的陰影部分就是生產(chǎn)集。通常，我們假定生產(chǎn)集是一個(gè)非空的閉集，也就是說生產(chǎn)集包括它的邊界，這條邊界線所確定的函數(shù)就是生產(chǎn)函數(shù)

6、，用表示。()yfz?這樣，我們就可以把生產(chǎn)集Y寫成：。我們還假定生產(chǎn)集??():()00Yzyyfzz????是凸的，也就是任意兩個(gè)可行的生產(chǎn)計(jì)劃的線性組合一定是可行的?？梢宰C明，對(duì)于單一產(chǎn)出的技術(shù)，生產(chǎn)集是凸的等價(jià)于生產(chǎn)函數(shù)是凹的2。()yfz?Oyzy=f(z)Y圖2A－2生產(chǎn)集生產(chǎn)集為了考察企業(yè)在成本約束下的最優(yōu)投入品組合，我們現(xiàn)在假定存在兩種投入要素，1z和，生產(chǎn)函數(shù)為。企業(yè)面臨的問題是給定成本約束，選擇最優(yōu)的投入品組2z12