高三專題彈簧類

1、彈 簧 類 問 題,授課人：合肥市第六中學(xué) 特級教師 萬德華,高 三 專 題 復(fù) 習(xí),它總是與其他物體直接或間接地聯(lián)系在一起，通過彈簧的伸縮形變，使與之相關(guān)聯(lián)的物體發(fā)生力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、動(dòng)量和能量等物理量的改變．所以，這類問題具有很強(qiáng)的隱蔽性和綜合性等特征，也為我們的想象和推理提供了一個(gè)多變的思維空間．,彈簧是中學(xué)物理中常見的模型．,正因如此，以彈簧模型命題的高考試題在歷年高考中頻頻出現(xiàn)，解決此類題的

2、關(guān)鍵：,在于能對與彈簧相關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)進(jìn)行正確的力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系分析、功能關(guān)系的分析，并抓住彈簧的基本特征，應(yīng)用相關(guān)的力學(xué)規(guī)律進(jìn)行綜合處理．,,思考與討論：在如圖1所示的裝置中，木塊B與水平桌面間的接觸是光滑的，子彈A沿水平方向射入木塊后，留在木塊內(nèi)，將彈簧壓縮到最短,此過程中子彈、木塊、彈簧所組成系統(tǒng)動(dòng)量、能量如何變化？,八、用功能關(guān)系解決彈簧類問題,【例1】：在思考與討論案例中，若木塊的質(zhì)量為M，子彈的質(zhì)量為m，彈簧為輕質(zhì)彈簧，子彈以速

3、度v0射入木塊B后能在極短時(shí)間內(nèi)達(dá)到共同速度。求彈簧的最大彈性勢能。,,對滑塊A、B構(gòu)成的系統(tǒng)，在碰撞過程中，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有：,對滑塊A、B和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)，從A、B碰撞后到彈簧壓縮到最短的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：,聯(lián)立①②兩式得：彈簧具有的最大彈性勢能為：,①,②,【例2】 ：如圖所示，在光滑的水平面上停放著一輛平板車，在車上的左端放一木塊B，車左端緊鄰一個(gè)固定在豎直面內(nèi)，半徑為R的四分之一圓弧形光滑軌道，軌道底

4、端的切線水平，且高度與車表面相平?，F(xiàn)有另一木塊A（A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓弧軌道的頂端由靜止釋放，然后滑行到車上與B發(fā)生碰撞，碰后兩木塊立即粘合在一起并在平板車上滑行，與固定在平板車上的水平輕質(zhì)彈簧作用后被彈開，最后兩木塊剛好回到車的最左端與車保持相對靜止，已知木塊A的質(zhì)量為m，木塊B的質(zhì)量為2m，車的質(zhì)量為3m，重力加速度為g，設(shè)木塊A、B碰撞的時(shí)間極短。求：（1）木塊A、B碰撞后的瞬間兩木塊共同運(yùn)動(dòng)速度的大?。唬?）木塊A、B在

5、車上滑行的全過程中，木塊和車組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能；（3）彈簧在壓縮過程中所具有的最大彈性勢能。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解（1）設(shè)木塊A滑到圓弧底端的速度為v0，A滑下過程由機(jī)械能守恒得：,在A、B碰撞過程中，兩木塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后的共同速度大小為v1，則：,（2）A、B在車上滑行的過程中，A、B和車組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒， A、B滑到車的最左端時(shí)與車共速，設(shè)此速度大小為v，由動(dòng)量守恒定律：,,,,,,,,,

6、,,,,,,,,,,,（2）A、B在車上滑行的整個(gè)過程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：,（3）當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，A、B和車共速，設(shè)速度為v2，彈簧具有最大的彈性勢能EP，由動(dòng)量守恒定律：,設(shè)木塊與車間的摩擦力為f，在車上滑行的位移為L 產(chǎn)生的熱量為Q，對于從A、B一起運(yùn)動(dòng)到將彈簧壓縮到最短的過程由能量守恒得：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（3）對于從彈簧壓縮至最短到木塊滑到車的左端的過程，由能量守恒：,,（4）如A、B與木板間的

7、動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，平板車長為s,輕彈簧原長為l0 ，則彈簧的最大形變量為多少？,由（3）式可得：,,,則彈簧的最大形變量：,【例3】：如圖所示，物體B和物體C用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接并豎直地靜置于水平地面上，此時(shí)彈簧的勢能為E。若物體A從物體B的正上方由靜止釋放，下落后與物體B相撞，碰撞后A與B立刻一起向下運(yùn)動(dòng)，但A、B之間并不粘連。已知物體A、B、C的質(zhì)量均為M，重力加速度為g，忽略空氣阻力。則物體A從距B多高處自由落下時(shí)，才能使

8、物體C恰好離開水平地面？,解：設(shè)物體A從距B的高度H處自由落下，A與B碰撞前的速度為v1，由機(jī)械能守恒定律得,,設(shè)A、B碰撞后共同速度為v2，則由動(dòng)量守恒定律得：Mv1＝2Mv2，解得,。,當(dāng)C剛好離開地面時(shí)，由胡克定律得彈簧伸長量為x=Mg/k，與最初的壓縮量相等，所以彈簧的彈性勢能仍為E。,,,,,,當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)A、B分離，設(shè)此時(shí)A、B的速度為v3，則對A、B一起運(yùn)動(dòng)的過程中,由機(jī)械能守恒得：,從A、B分離后到物體C剛好離開

9、地面的過程中，物體B和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，,聯(lián)立以上方程解得：,思考：（1）“剛好”含義的理解。 （2）物理過程的分析。 （3）狀態(tài)的選取。,即:,【例4】、如圖所示，彈簧上端固定在O點(diǎn)，下端掛一木箱A，木箱A頂部懸掛一木塊B（可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)），A和B的質(zhì)量都為m=1kg，B距木箱底面h=16cm，當(dāng)它們都靜止時(shí)，彈簧長度為L，某時(shí)刻，懸掛木塊B的細(xì)線突然斷開，在木箱上升到速度剛為0時(shí)，

10、B和A的底面相碰(碰撞的時(shí)間極短)，碰撞后結(jié)為一體，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到彈簧長度又為L時(shí)，速度變?yōu)関′=1m/s。求：（1）碰撞中的動(dòng)能損失△Ek；（2）彈簧的勁度系數(shù)k；（3）原來靜止時(shí)的彈性勢能E0。,解：（1）從B開始下落到彈簧長度再次恢復(fù)為L的過程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：,則碰撞中動(dòng)能損失等于系統(tǒng)機(jī)械能的損失：,（2）設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為κ，最初彈簧的伸長量為x，碰前B的速度為vB。碰后A和B的共同速度為v，則原來靜止時(shí)：,碰撞過程，對

11、系統(tǒng)：,解得：,線斷后，A將作簡諧運(yùn)動(dòng)，在其平衡位置處，應(yīng)有：,由上兩式可得：x=2x1 即當(dāng)A的速度為零時(shí)，A向上振動(dòng)了半周，上移了x，此時(shí)彈簧則好恢復(fù)為原長。,碰前過程，對B：,（3）線斷后，對A向上運(yùn)動(dòng)（振動(dòng)）的過程，由機(jī)械能守恒：,（或由彈性勢能表達(dá)式： ）,例5、如圖所示，一輕質(zhì)彈簧下端固定在水平地面上，上端與物體A連接，物體A又與一跨過定滑輪的不可伸長的輕

12、繩一端相連，繩另一端懸掛著物體B，B的下面又掛著物體C，A、B、C均處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)剪斷B和C之間的繩子，則A和B將做簡諧運(yùn)動(dòng)。已知物體A質(zhì)量為3m，B和C質(zhì)量均為2m，A和B振動(dòng)的振幅為d。試求：（1）物體A振動(dòng)的最大速度；（2）振動(dòng)過程中，繩對物體B的最大拉力和最小拉力。,解：,（1）繩剪斷前，彈簧伸長量為x1，剪斷后，在振動(dòng)的平衡位置，彈簧壓縮x2，,由于x1=x2，兩個(gè)狀態(tài)的彈性勢能相等,（振動(dòng)的振幅 d=x1+x2）；

13、,由機(jī)械能守恒定律，有：,解得,（2）B振動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)拉力最大為F1；振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)拉力最小為F2；,B在振動(dòng)過程的最低點(diǎn)：,對B :,對A :,解得：,B在振動(dòng)過程的最高點(diǎn)：,對B :,解得：,例6. 質(zhì)量為M=3kg的小車放在光滑的水平面上，物塊A和B的質(zhì)量為mA=mB=1kg，放在小車的光滑水平底板上，物塊A和小車右側(cè)壁用一根輕彈簧連接起來，不會(huì)分離。物塊A和B并排靠在一起，現(xiàn)用力壓B，并保持小車靜止，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，在此過程

14、中外力做功135J，如右圖所示。撤去外力，當(dāng)B和A分開后，在A達(dá)到小車底板的最左端位置之前，B已從小車左端拋出。求：(1) B與A分離時(shí)A對B做了多少功?(2) 整個(gè)過程中，彈簧從壓縮狀態(tài)開始，再次恢復(fù)原長時(shí)，物塊A和小車的速度,,解：(1),AB將分離時(shí)彈簧恢復(fù)原長, AB的速度為v,小車速度為V,對A、B、M系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得：,(mA+mB)v-MV=01/2 (mA+mB)v2+1/2 MV2 =E

15、0,即 2v-3V=0 v2+1.5V2 =135,解得 v= 9m/s, V=6m/s,∴WA對B= 1/2 mBv2=40.5J,(2)B離開小車后，對小車和A及彈簧系統(tǒng)由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得（向右為正）,mAv1+MV1=91/2 mAv12+ 1/2 MV12 =E0 –40.5,即 v1+3V1=9 v12+3V12 =189,代入消元得 2V12 – 9V1-18=0,解得

16、 v1= 13.5m/s, V1=-1.5m/s 或v1= -9m/s, V1=6m/s,答： B與A分離時(shí)A對B做了多少功40.5J (2)彈簧將伸長時(shí)小車 和A 的速度分別為9m/s, 6m/s； 將壓縮時(shí)為13.5m/s, 1.5m/s,,,,【練習(xí)1】．如圖所示，一物體從B處下落然后壓縮彈簧至最低點(diǎn)，在此過程中最大加速度為a1，動(dòng)能最大時(shí)的彈性勢能為E1；若該物體從A處下落，最大加速度為a2

17、，動(dòng)能最大時(shí)的彈性勢能為E2，不計(jì)空氣阻力，則有A．a(chǎn)1 =a2 E1 <E2 B．a(chǎn)1 <a2 E1 <E2C．a(chǎn)1 <a2 E1 =E2 D．a(chǎn)1 =a2 E1 =E2,答案：C,【練習(xí)2】如圖所示，下端固定的豎直輕彈簧的上端與質(zhì)量為4Kg的物體B連接，質(zhì)量為0.5Kg的物體A放在B上，先用力將彈簧壓縮，然后釋放，它們開始向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、B分離后，A又向上移動(dòng)0.2m，剛好到得

18、最高點(diǎn)，這時(shí)B的運(yùn)動(dòng)方向向下，且彈簧恰好恢復(fù)到原長。則從A、B分離至A達(dá)到最高點(diǎn)的過程中（g=10m/s2） （ ）A、重力對B物體做功8JB、彈簧彈性勢能的變化為0C、物體A的動(dòng)能變化絕對值為20JD、彈簧彈力對B的沖量大小為16N.s,【解析】：本題的關(guān)鍵是：必須明確當(dāng)A、B分離時(shí)，彈簧恰好為原長，且兩物體具有共同的加速度，共同的速度，對A物體：,【答案】：B,【練習(xí)3】如圖所示，質(zhì)量均為m的兩物體A、B分別與輕質(zhì)

19、彈簧的兩端相連接，將它們靜止放在地面上。一質(zhì)量也為的小物體C從距A物體h,高處由靜止開始下落，C與A相碰后立即粘在一起向下運(yùn)動(dòng)，以后不再分開，當(dāng)A與C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，物體B對地面剛好無壓力。不計(jì)空氣阻力，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為g。求: (1)A與C一起開始向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大??； (2)A與C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的加速度大??； (3)彈簧的勁度系數(shù)。,,(1)設(shè)小物體C靜止開始運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度為ν，由機(jī)械能

20、守恒定律：,設(shè)C與A碰撞粘在一起時(shí)速度為ν’由動(dòng)量守恒定律 ：,(2)當(dāng)A與C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，B受力平衡有： F=mg,對A、C應(yīng)用牛頓第二定律：,（3)開始時(shí)A處于平衡狀態(tài)，設(shè)彈簧的壓縮形變量為,對A有：,當(dāng)A與C運(yùn)動(dòng)到最高時(shí)，設(shè)彈簧的拉伸形變量為：,對B有：,比較兩式得：,因此，在這兩個(gè)位置時(shí)彈簧的性勢能相等：,對 A、C，從原平衡位置到最高點(diǎn)，根

21、據(jù)機(jī)械能守恒定律,解得,【練習(xí)4】如圖所示．光滑水平面上有一小車B．右端固定一砂箱，砂箱左側(cè)連接一水平輕彈簧,小車和砂箱的總質(zhì)量為M。車上放著一物塊A，質(zhì)量也是M，且物塊A與左側(cè)的車面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，與其他車面間的摩擦不計(jì)。物塊A隨小車以速度v0正向右勻速運(yùn)動(dòng)。在車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),離砂面H高處有一質(zhì)量為m的泥球自由下落，恰好落在砂箱中，求：（1）小車在前進(jìn)中，彈簧彈性勢能的最大值。 (2)為使物塊A不從小車上滑下，車面粗糙部分至少

22、應(yīng)多長。,解:(1)泥球落入砂箱的過程,動(dòng)量守恒,小車的速度變?yōu)関, Mv0=(M＋m)v,當(dāng)A與車速度相等時(shí),彈簧的壓縮量x最大,即彈性勢能最大,設(shè)此時(shí)的共同速度為u,則由動(dòng)量守恒知:(M＋m)v＋Mv0=(2M＋m)u,由功能關(guān)系知:½Mv02＋½(M＋m)v2=½(2M＋m)u2＋EP故,(2)當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長時(shí),物體A脫離彈簧進(jìn)入摩擦車面,直至與車相對靜止,共同速度為v

23、/,由動(dòng)量守恒和功能關(guān)系知:2Mv0=(2M+m)V/,μMgS相＋½(2M＋m)v/2=EP＋½(2M＋m)u2,,謝 謝大家！,例．如圖，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，

24、已知它恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為(m1+m3)的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g.,,,解：開始時(shí)，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為x1，有 kx1=m1g ①,掛C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，A向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)B剛要離地時(shí)彈簧伸長量為x2，有,B不再上升，表示此時(shí)A和C的速度為零，C已降到其最低點(diǎn)。由機(jī)械能守

25、恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧性勢能的增加量為,△E=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2) ③,kx2=m2g ②,題目,上頁,下頁,C換成D后，當(dāng)B剛離地時(shí)彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得,由③④式得,由①②⑤式得,題目,上頁,【例4】：如圖示：豎直放置的彈簧下端固定，上端連接一個(gè)砝碼盤B，盤中放一個(gè)物體A，A、 B的質(zhì)量分別是M=10.5kg、m=1.5 kg，k=800N/m,對A施加一個(gè)豎直向上的

26、拉力，使它做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過0.2秒A與B脫離，剛脫離時(shí)刻的速度為v=1.2m/s，取g=10m/s2,求A在運(yùn)動(dòng)過程中拉力的最大值與最小值。,解：對整體 kx1=(M+m)g,F + kx - (M+m)g= (M+m)a,脫離時(shí)，A 、B間無相互作 用力，對B kx2-mg=ma,x1- x2 =1/2 at2 a=v/t=6m/s2,Fmax=Mg+Ma=168N,Fmin=(M+m)a=72N,【例3】：質(zhì)

27、量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。平衡時(shí)，彈簧的壓縮量為x0如圖3所示。一物塊從鋼板正上方距離為3x0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連。它們到達(dá)最底點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)。已知物塊質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)。若物塊質(zhì)量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速度。求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離。,分析：,當(dāng)質(zhì)量為m的物體下落與鋼板的作用包括：自由落體、碰撞、振

28、動(dòng)3個(gè)過程.,物理過程:,,分析：,當(dāng)質(zhì)量為2m的物體下落與鋼板的作用包括：自由落體、碰撞、振動(dòng)、豎直上拋4個(gè)過程.,物理過程:,,解答：,設(shè)物塊與鋼板碰撞時(shí)的速度為v0,對物塊，在下落過程中，由自由落體運(yùn)動(dòng)的公式，得,設(shè)v1表示質(zhì)量為m的物塊、鋼板碰撞后一起向下運(yùn)動(dòng)的速度，因碰撞時(shí)間極短，系統(tǒng)所受外力遠(yuǎn)小于相互作用的內(nèi)力，符合動(dòng)量守恒，對質(zhì)量為m的物塊和鋼板，由動(dòng)量守恒定律得,設(shè)剛碰完時(shí)彈簧的彈性勢能為EP，當(dāng)它們一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈

29、簧無形變，彈簧勢能為零，根據(jù)題意，由機(jī)械能守恒得,③,②,①,質(zhì)量為m的物體下落與鋼板作用,設(shè)v2表示質(zhì)量為2m的物塊與鋼板碰后開始一起向下運(yùn)動(dòng)的速度，由動(dòng)量守恒，則有,在上述兩種情況下，彈簧的初始壓縮量都是x0，故有,④,⑥,⑤,質(zhì)量為2m的物體下落與鋼板作用,設(shè)剛碰完時(shí)彈簧勢能為 ，它們回到O點(diǎn)時(shí)，彈性勢能為零，但它們?nèi)岳^續(xù)向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)速度為v3，則由機(jī)械能守恒定律得,當(dāng)質(zhì)量為2m的物塊與鋼板一起回到O點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力為