淺析排列組合中的重復(fù)計算問題

1、例析排列組合中的重復(fù)計算的產(chǎn)生及對策例析排列組合中的重復(fù)計算的產(chǎn)生及對策無錫市洛社高級中學(xué)戎鋼學(xué)生在解排列組合的題目時，往往容易出現(xiàn)考慮不周全，漏解的情況。另外有些類型的排列組合題目較容易出現(xiàn)重復(fù)計算的問題，而且此類問題較隱蔽，學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)。在解題時，應(yīng)做到既不重復(fù)遺漏，又能判斷解題的正誤，并能加以剖析。這樣對于學(xué)生解題能力的提高大有好處。一、分步引起的重復(fù)計算一、分步引起的重復(fù)計算例1:從4臺甲型機(jī)和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其

2、中至少有甲型和乙型機(jī)各1臺，則不同的取法有多少種？【錯解】先保證各1臺，在從剩下的機(jī)子中任取一臺。即分三步：第一步從甲型機(jī)中取一臺，有種取法；第二步從乙型機(jī)中取一臺，有種取法；第三步從剩下的七臺14C15C機(jī)子中取一臺，有種取法，根據(jù)乘法原理，共有種取法。17C111457140CCC???【分析】設(shè)甲型機(jī)種有a、b兩臺機(jī)子，乙型機(jī)中有A、B兩臺機(jī)子，根據(jù)上述選法，其中有一種取法可以是“先選a，再選A，再選b”另外一種取法是“先選b，再

3、選A，再選a”。而很明顯，上述兩種取法是同一種結(jié)果，出現(xiàn)重復(fù)。究其原因是本題使用的是分類計數(shù)原理（分步原理）。而分步必然有先有后，也就有順序，跟排列有關(guān)。本題中無論是取兩臺甲型機(jī)還是兩臺乙型機(jī)，對于這兩臺機(jī)而言，只是一個組合，沒有先后，因此重復(fù)了兩遍?！菊狻扛鶕?jù)結(jié)果分類，第一類：兩臺甲型機(jī)，有種取法；第二類：兩臺乙2145CC?型機(jī)，有種取法，根據(jù)分類計數(shù)原理，共有種取法。1245CC?2112454570CCCC????二、涉及到平

4、均分組中的重復(fù)計算二、涉及到平均分組中的重復(fù)計算例2:2:袋中有紅、白、黃球各一個，每次任取一球，記下顏色后放回，當(dāng)各種顏色均被取到時結(jié)束，則取球結(jié)束時，一共取了五次的不同取法有多少種？【錯解】由題意，第五次一定是第三種顏色的球。前四次取到其他兩種顏色的球。先分步，第五次有種顏色的可能，再分類討論前四次的情況，第一類：剩下的兩種顏13C色的球，一種顏色的取到三次，另外一種取到一次。分步完成，先選出一種顏色，被取到三次，有種可能，然后這種

5、顏色在前四次中被取到有中情況，共有種情12C34C1324CC?況；第二類，類似第一類，共有種情況，由分步原理共有1224CC?種不同的取法。1121332424()60CCCCC?????【剖析】本題中在分類時涉及到平均分組的問題。在第二類中兩種顏色各取到兩次對于易產(chǎn)生重復(fù)的題目有很多還是有相似之處的?？梢酝ㄟ^題組的形式，讓學(xué)生強(qiáng)化對該類題目的辨析和認(rèn)識。筆者列舉如下一組問題，請讀者仔細(xì)考慮。（1）袋中裝有大小相同、編號各不相同的五個

6、紅球、四個黑球，從中取出5個，紅球，黑球各至少有2個的不同取法有多少種？（2）某演出隊有9名歌舞演員，其中7人會表演唱歌節(jié)目，5人會表演舞蹈節(jié)目，今從9人中選2人，1人表演唱歌，1人表演舞蹈，則不同的選法有多少種？（3）有學(xué)生10人，其中團(tuán)員4人，現(xiàn)平均分成2組，若每組都要分2名團(tuán)員，那么不同的分組方法有多少種？（4）某籃球隊有11名隊員，其中5人只能打前鋒，4人只能打后衛(wèi)，其余2人可打前鋒可打后衛(wèi)。①現(xiàn)從中選5人（3前鋒2后衛(wèi)）出場，

7、有幾種選法？②現(xiàn)從中選10人組成2個隊對抗，每隊都是3前鋒2后衛(wèi)，有幾種選法？（5）∠A的一邊有4個點，另一邊有5個點，連同頂點一共10個點，可以作出多少個三角形？（6）有紅黃藍(lán)三種顏色卡片各5張，每種卡片上分別寫有1，2，3，4，5五個數(shù)字，如果每次提取4張卡片，要求顏色齊全，數(shù)字不同，那么取法種數(shù)共有多少種？（7）從1，2，3…，10這10個數(shù)字種有放回地抽取3次，每次抽取1個數(shù)字，3次抽取中最小數(shù)為3的所有可能種數(shù)為多少？（提示：

8、1、2兩題參考例1；3、4兩題參考例2；5、6、7先考慮分組。）二、由小見大，以點帶面，逐步摸清規(guī)律，合理分解二、由小見大，以點帶面，逐步摸清規(guī)律，合理分解。在剖析重復(fù)計算產(chǎn)生的原因的過程當(dāng)中，我們不難發(fā)現(xiàn)錯誤的想法源于對整體情況的把握不夠完整，問題考慮得不夠清晰。對于這樣的問題，學(xué)生的反映或者是無從下手，或者是惰于思考，想不周全。實際上以上三例的解析已經(jīng)給出行之有效的一套方案。一方面，我們通過舉例發(fā)現(xiàn)重復(fù)計算的問題，而另一方面，我們還