利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問(wèn)題_第1頁(yè)
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1、Page1of5利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問(wèn)題關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù),不等式,單調(diào)性,最值。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具。例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最大(?。┲怠⑶蠛瘮?shù)的值域等等。而在處理與不等式有關(guān)的綜合性問(wèn)題時(shí)往往需要利用函數(shù)的性質(zhì);因此,很多時(shí)侯可以利用導(dǎo)數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì),從而解決不等式問(wèn)題。下面具體討論導(dǎo)數(shù)在解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題時(shí)的作用。一、一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(一)(一)、利用

2、導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于(或小于)0時(shí),則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增(或遞減)。因而在證明不等式時(shí),根據(jù)不等式的特點(diǎn),有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。具體有如下幾種形式:1、直接構(gòu)造函數(shù),然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性;再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增(減)區(qū)間,自變量越大,函數(shù)值

3、越大(?。?,來(lái)證明不等式成立。例1:x0時(shí)求證;x-ln(1x)<02x2?證明:設(shè)f(x)=x-ln(1x)(x0)則f(x)=2x2?2x1x??∵x0∴f(x)0時(shí)f(x)ae求證:abba(e為自然對(duì)數(shù)的底)證:要證abba只需證lnablnba即證:blna-alnb0設(shè)f(x)=xlna-alnx(xae);則f(x)=lna-ax∵aexa∴l(xiāng)na10因而f(x)在(e∞)上遞增ax∵ba∴f(b)f(a);故blna-a

4、lnbalna-alna=0;即blnaalnb所以abba成立。(注意,此題若以a為自變量構(gòu)造函數(shù)f(x)=blnx-xlnb(e(k∈N)成立g(x)g(x)12IIkk1??4k(k1)?3、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域,再證明不等式。例5:f(x)=x3-xx1x2∈[-11]時(shí),求證:|f(x1)-f(x2)|≤1343證明:∵f(x)=x2-1x∈[-11]時(shí)f(x)≤0∴f(x)在[-11]上遞減.故f(x)在[-11]上的最大

5、值為f(-1)=23最小值為f(1)=即f(x)在[-11]上的值域?yàn)椋?3?22[]33?所以x1x2∈[-11]時(shí),|f(x1)||f(x2)|23?23?即有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)||f(x2)|224333???二、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題不等式恒成立問(wèn)題,一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍,往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為mf(x)(或mf(x))恒成立,于是m大于f(x)的最大值(或m小于f(x)的最小值),從而把不等

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