高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)

1、一、函數(shù)與極限一、函數(shù)與極限1、集合的概念、集合的概念一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫(xiě)拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于A，記作：a∈A，否則就說(shuō)a不屬于A，記作：

2、aA。?⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N或N。⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。⑸、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。集合的表示方法集合的表示方法⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用“｛｝”括起來(lái)表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來(lái)表示集合。集合間的基本關(guān)系集合間的基本關(guān)系⑴、子集：一般地，

3、對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說(shuō)A、B有包含關(guān)系，稱(chēng)集合A為集合B的子集，記作AB（或BA）。。??⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于B但不屬于A，我們稱(chēng)集合A是集合B的真子集。⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集

4、是任何集合的子集。?⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：①、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即AA?②、對(duì)于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運(yùn)算集合的基本運(yùn)算⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱(chēng)為A與B的并集。記作A∪B。（在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即A∪B＝

5、｛x|x∈A，或x∈B｝。⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱(chēng)為A與B的交集。記作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。⑶、補(bǔ)集：①全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這個(gè)集合為全集。通常記作U。高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)點(diǎn)高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)點(diǎn)2[a，∞)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜∞；(∞，b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：∞＜x＜b；(∞，∞)：表示全

6、體實(shí)數(shù)，也可記為：∞＜x＜∞注：注：其中∞和∞，分別讀作“負(fù)無(wú)窮大“和“正無(wú)窮大“它們不是數(shù)僅僅是記號(hào)。⑶、鄰域：⑶、鄰域：設(shè)α與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│xα│＜δ的實(shí)數(shù)x的全體稱(chēng)為點(diǎn)α的δ鄰域，點(diǎn)α稱(chēng)為此鄰域的中心，δ稱(chēng)為此鄰域的半徑。2、函數(shù)、函數(shù)⑴、函數(shù)的定義：⑴、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的函數(shù)函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定

7、義域函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量）函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號(hào)y=f(x)、y=F(x)等等來(lái)表示。這里的字母“f“、“F“表示y與x之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系它們是可以任意采用不同的字母來(lái)表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。⑵、

8、函數(shù)相等⑵、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱(chēng)兩個(gè)函數(shù)相等函數(shù)相等。⑶、域函數(shù)的表示方法⑶、域函數(shù)的表示方法a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2y2=r2b)：表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來(lái)表示函數(shù)關(guān)

9、系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。c)：圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來(lái)表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：3、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)⑴、函數(shù)的有界性⑴、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個(gè)與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱(chēng)f(x)在區(qū)間I有界