正弦定理的幾種證明方法

1、正弦定理的幾種證明方法正弦定理的幾種證明方法1.利用三角形的高證明正弦定理利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有?sinCDaB。sinCDbA?由此，得sinsinabAB?，同理可得sinsincbCB?，故有sinsinabAB?sincC?.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.（2）當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函

2、數(shù)的定義，有????sinsinCDaCBDaABC，。sinCDbA?由此，得??sinsinabAABC，同理可得??sinsincbCABC故有??sinsinabAABCsincC?.由(1)(2)可知，在?ABC中，sinsinabAB?sincC?成立.從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即sinsinabAB?sincC?.1’用知識(shí)的最近生長點(diǎn)來證明：實(shí)際應(yīng)用問題中，我們常遇到問題：已知點(diǎn)A，點(diǎn)B之

3、間的距｜AB|，可測量角A與角B，需要定位點(diǎn)C，即：在如圖△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，求邊AC的長b解：過C作CD?AB交AB于D，則cosADcA?sinsincossintansincosBDcAcACDCCCCC???sincos(sincossincos)sincossinsinsincACcCAACcBbACADDCcACCC????????推論：推論：sinsinbcBC?同理可證：同理可證：sinsinsin

4、abcABC??abDABCABCDba(2)△ABC為鈍角三角形不妨設(shè)A＞90過點(diǎn)A作與垂直的單位向量j則jAC與的夾角為A90j與的夾角為90C.ABCB由得jj=jjABCBAC??ACCBAB即aCos(90C)=cCos(A90)∴asinC=csinA.∴CcAasinsin?另外過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j則j與的夾角為90Cj與夾CBACAB角為90B.同理可得.∴CcBbsinsin?CcBbsimAasi

5、nsin??4.外接圓證明正弦定理外接圓證明正弦定理在△ABC中已知BC=aAC=bAB=c作△ABC的外接圓O為圓心連結(jié)BO并延長交圓于B′設(shè)BB′=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到∠BAB′=90，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=.∴.RcBC2sinsin???RCc2sin?同理可得.∴.RBbRAa2sin2sin??RCcBbAa2sinsinsin???這就是說對于任意的三角