勾股定理的九種證明方法(附圖)

1、勾股定理的證明方法勾股定理的證明方法一、傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖一、傳說(shuō)中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖1）左邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形以及4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因?yàn)檫@兩個(gè)正方形的面積相等(邊長(zhǎng)都是)，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。二、美國(guó)第二、美國(guó)第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3）這個(gè)直角梯形

2、是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形和1個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個(gè)直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡(jiǎn)得。三、相似三角形的證法：三、相似三角形的證法：4.相似三角形的方法：在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)三直角角形與原三角形相似。如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90。作CD⊥AB，垂足為D。則△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。由△BC

3、D∽△BAC可得BC2=BDBA，①由△CAD∽△BAC可得AC2=ADAB。②我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得CABD∠ABC∠MBA=∠MBC=90，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90，∠BCA=90，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2b^2=c^2六、歐幾里德射影定理證法六、歐幾里德射影定理證法：如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90，AD是斜邊BC上的高，通過(guò)證明三角形相

4、似則有射影定理如下：1）（BD）^2=ADDC，（2）（AB）^2=ADAC，（3）（BC）^2=CDAC。由公式（2）（3）得：（AB）^2（BC）^2=ADACCDAC=（ADCD)AC=（AC）^2，即（AB）^2（BC）^2=（AC）^2七、楊作玫證法：七、楊作玫證法：做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b（ba），斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過(guò)A作AF⊥AC，AF交GT于

5、F，AF交DT于R.過(guò)B作BP⊥AF，垂足為P.過(guò)D作DE與CB的延長(zhǎng)線垂直，垂足為E，DE交AF于H.∵∠BAD=90，∠PAC=90，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90，∠BCA=90，AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，從而PH=b―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCARtΔDHA≌RtΔBCA