勾股定理經(jīng)典例題

1、知識點一：勾股定理知識點一：勾股定理如果直角三角形的兩直角邊長分別為：a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方要點詮釋：要點詮釋：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方關(guān)系的定理。（2）勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角。（3）理解勾股定理的一些變式：c2=a2b2a2=c2b2，b2=c2a2，c2=(ab)22ab知識點二：用面積證明勾股定理知識點二：用面積證明勾股定

2、理方法一：方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形。圖（1）中，所以。方法二：方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。圖（2）中，所以。方法三：方法三：將四個全等的直角三角形分別拼成如圖（3）—1和（3）—2所示的兩個形狀相同的正方形。在（3）—1中，甲的面積=（大正方形面積）—（4個直角三角形面積）在（3）—2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）—（4個直角三角形面積）所以，甲的面積=乙和丙的面積和，

3、即：.方法四：方法四：如圖（4）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形。，所以。知識點三：勾股定理的作用知識點三：勾股定理的作用1已知直角三角形的兩條邊長求第三邊；2已知直角三角形的一條邊，求另兩邊的關(guān)系；3用于證明平方關(guān)系的問題；4利用勾股定理，作出長為的線段。.∴.總結(jié)升華總結(jié)升華：利用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的一個重要應(yīng)用.當題目中沒有垂直條件時，也經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理.舉一反三舉一反三【變式1】如圖，已知

4、：，，于P.求證：.思路點撥思路點撥:圖中已有兩個直角三角形，但是還沒有以BP為邊的直角三角形.因此，我們考慮構(gòu)造一個以BP為一邊的直角三角形.所以連結(jié)BM.這樣，實際上就得到了4個直角三角形.那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系.解析解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中，.而在中，則根據(jù)勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根據(jù)勾股定理有，∴.【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90，∠A=60，AB=4，CD=2。求：四邊

5、形ABCD的面積。分析分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。解析解析：延長AD、BC交于E。∵∠A=∠60，∠B=90，∴∠E=30?！郃E=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2AB2=8242=48，BE==?！逥E2=CE2CD2=4222=12，∴DE==?！郤四邊形ABCD=S△ABES