集列的上、下極限

1、集列的上、下極限集列的上、下極限摘要：康托爾（cant）在19世紀(jì)創(chuàng)立了集合論成為實(shí)變函數(shù)理論的出發(fā)點(diǎn)。其中，集列的上、下極限是實(shí)變函數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)。講述了上、下極限的定義，通過(guò)例題的分析，介紹了上、下極限的計(jì)算方法，并給出單調(diào)集列收斂的證明及應(yīng)用。關(guān)鍵詞：集列上極限下極限單調(diào)1引言實(shí)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)分析中微積分的發(fā)展，在數(shù)學(xué)分析中，人們研究了實(shí)變函數(shù)論中的可微，可積等基本性質(zhì)，隨著微積分的日益發(fā)展，隨著數(shù)學(xué)其他分支和各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題對(duì)微積分

2、要求的提高，人們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析的方法和結(jié)果并不能完全令人滿意。大家知道，黎曼積分是數(shù)學(xué)分析研究的主要內(nèi)容，但是，人們?cè)趯?shí)際運(yùn)算中越來(lái)越感覺(jué)到riemann積分的缺陷，要擺脫限制，力求更靈活的運(yùn)算，在這種要求下，實(shí)變函數(shù)應(yīng)運(yùn)而生。時(shí)至今日，實(shí)變函數(shù)論已經(jīng)滲入到數(shù)學(xué)的許多分支中，它在各支數(shù)學(xué)中的應(yīng)用成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)特征，所以凡是想了解并且掌握近代數(shù)學(xué)的人，都應(yīng)該認(rèn)真地學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)論這門(mén)課程。實(shí)變函數(shù)論的出發(fā)點(diǎn)是一般點(diǎn)集，粗略地說(shuō)，實(shí)變函數(shù)論

3、是在點(diǎn)集和集合論的觀點(diǎn)與方法滲入數(shù)學(xué)分析的過(guò)程中產(chǎn)生的，用點(diǎn)集的方法研究n維歐氏空間中實(shí)變函數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。在實(shí)變中，人們把函數(shù)的分析轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集關(guān)系的研究，從而在點(diǎn)集測(cè)度上建定義2[1]對(duì)集列a1a2…an…那種除有限個(gè)下標(biāo)外屬于集列中每個(gè)集的元素全體所組成的集稱為這一集列的下限集或下極限記為或。用集合的概念表示如下。顯然。例1a1=a3=a5=…01，a2=a4=a6=…0則.就像數(shù)列未必有極限集合序列當(dāng)然也可能沒(méi)有極限。定義3[1]若

4、則稱集列an收斂稱a為an的極限記為。2.2.2上、下極限的等價(jià)定義類(lèi)似于數(shù)列的上、下極限我們可以定義集列的上、下極限。定理1對(duì)于任意一串集合a1a2…an…都有(1)(2)。證明：(1)若對(duì)任意的∈則對(duì)任意的n∈n存在m≥n使得∈am所以對(duì)任意的n∈n有從而.反之若則對(duì)任意的n∈n均有所以對(duì)任意的n∈n存在m≥n使得∈am從而即。(2)若對(duì)任意的則存在n∈n對(duì)任意的m≥n使得∈am所以存在n∈n均有從而。反之若存在n∈n均有所以存在n