第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

1、第六章 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布,隨機(jī)樣本與統(tǒng)計(jì)量 分布 t分布 F分布,1,正態(tài)總體下的抽樣分布,數(shù)理統(tǒng)計(jì) 是一門以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的學(xué)科, 可以定義為收集數(shù)據(jù), 分析數(shù)據(jù)和由數(shù)據(jù)得出結(jié)論的一組概念、 原則和方法。例如：若規(guī)定燈泡壽命低于1000小時(shí)者為次品，如何確定次品率？由于燈泡壽命試驗(yàn)是破壞性試驗(yàn)，不可能把整批燈泡逐一檢測(cè)，只能抽取一部分燈泡作為樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，以樣本的信息來推斷總體的信息，這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的問題。,2,6.

2、1 隨機(jī)樣本與統(tǒng)計(jì)量,總體：研究對(duì)象的全體； 個(gè)體：總體中的成員；總體的容量：總體中包含的個(gè)體數(shù)；有限總體：容量有限的總體；無限總體：容量無限的總體，通常將容量非常大的總體也按無限總體處理。,3,例：1）了解某校“大學(xué)生的月消費(fèi)水平” ?？傮w是該校大學(xué)生全體。這是一個(gè)有限總體，每個(gè)大學(xué)生有許多指標(biāo)，我們關(guān)注的是學(xué)生“過去6個(gè)月平均每月的花費(fèi)”這一指標(biāo)。,4,2）了解某城市的空氣質(zhì)量情況，調(diào)查該城市的PM2.5值。這是一個(gè)無限總

3、體，描述空氣質(zhì)量有許多指標(biāo)，而我們僅關(guān)心PM2.5值。,5,3）研究某種藥物在人體中的吸收情況。這是一個(gè)有限總體，但數(shù)量非常巨大，我們常把它看出無限總體。,6,為了采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析，首先要收集數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)收集方法一般有兩種。,（1）通過調(diào)查、記錄收集數(shù)據(jù)。如為了調(diào)查大學(xué)生“過去6個(gè)月平均每月的花費(fèi)” ，可以進(jìn)行問卷調(diào)查；要了解PM2.5值，需要在城市設(shè)立若干PM2.5監(jiān)測(cè)站點(diǎn)，定時(shí)收集數(shù)據(jù)。,（2）通過實(shí)驗(yàn)收集數(shù)據(jù)。如為了了解藥物

4、吸收情況，要征集若干志愿者，把他們分成若干組，觀察他們服藥后不同時(shí)間點(diǎn)藥物含量數(shù)據(jù)。,關(guān)于調(diào)查數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集可以根據(jù)數(shù)據(jù)本身的特點(diǎn)有多種不同的方法和設(shè)計(jì)，有專門的課程講授，這里不作詳細(xì)介紹。,總體的某個(gè)指標(biāo)X, 對(duì)于不同的個(gè)體來說有不同的取值, 這些取值構(gòu)成一個(gè)分布, 因此X可以看成一個(gè)隨機(jī)變量. 有時(shí)候就把X稱為總體. 假設(shè)X的分布函數(shù)為F(x), 也稱F(x)為總體.,7,數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要任務(wù)是從總體中抽取一部分個(gè)體, 根據(jù)這部

5、分個(gè)體的數(shù)據(jù)對(duì)總體分布給出推斷. 被抽取的部分個(gè)體叫做總體的一個(gè) 樣本.,8,隨機(jī)樣本：從總體中隨機(jī)地取n個(gè)個(gè)體, 稱為一個(gè)隨機(jī)樣本。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本(X1,X2,…,Xn)稱為容量是n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。1.代表性:每個(gè)Xi與X同分布；2.獨(dú)立性: X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。,9,[說明]：后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。,[注意]：一個(gè)容量為n的樣本是指n個(gè)獨(dú)立與總體分布相同的隨機(jī)變量。

6、 一旦對(duì)樣本進(jìn)行觀察，得到實(shí)際數(shù)值稱為樣本觀察值（或樣本值）。 兩次觀察，樣本值可能是不同的。,10,如何取得的樣本才稱是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本? 對(duì)于有限總體, 采用放回抽樣就能得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本. 但當(dāng)總體容量很大的時(shí)候,放回抽樣有時(shí)候很不方便, 因此在實(shí)際中當(dāng)總體容量比較大時(shí),通常將不放回抽樣所得到的樣本近似當(dāng)作簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本來處理. 對(duì)于無限總體

7、, 一般采取不放回抽樣.,11,,12,例1.1 有4個(gè)學(xué)生參加《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》 課程考試，成績(jī)分別為88,75,70, 63. 現(xiàn)從中抽取容量為2 的樣本，列出 全部的樣本.,答：共有16個(gè)樣本，分別為：,統(tǒng)計(jì)量：樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。常用統(tǒng)計(jì)量：設(shè)（X1,X2,…,Xn）為取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。常用的統(tǒng)計(jì)量如下：,13,[思考題]：,答：不對(duì)。前者是隨機(jī)變量，觀察兩次得到的統(tǒng)計(jì)量的值可

8、能不一樣；后者是數(shù)，可能已知也可能未知。,14,當(dāng)總體數(shù)字特征未知時(shí)(設(shè)各階矩存在),15,16,例1.2 接例1.1，總體為88，75，70，63，顯然，總體均值為74. 計(jì)算全部16個(gè)樣本的樣本均值.,從中看到，用樣本均值估計(jì)總體均值，可能估計(jì)過高，可能估計(jì)過低。所有樣本均值的平均值恰好是總體均值。(無偏性),17,6.2 分布 t分布 F分布,(一) 分布,定義：設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立,,則稱,

9、服從自由度為n的其中，自由度指(1)式右端包含的獨(dú)立變量個(gè)數(shù).,18,19,分布的性質(zhì),2.設(shè) 且 相互獨(dú)立，則有,1.設(shè) 則有,—— 分布可加性,,,,20,在Excel表單的任一單元格輸入 “=CHISQ.INV.RT (0.1,25)” ；點(diǎn)擊''確定" 即在單元格中出現(xiàn) ''34.382".,,21,例2.1 利用

10、Excel求,22,23,,24,,25,(二) t分布,26,,27,在Excel表單的任一單元格輸入 “=T.INV (1–0.05, 25)” 或 “=T.INV.2T (0.05*2, 25)” ；點(diǎn)擊“確定” 即在單元格中出現(xiàn) “1.708”.,28,例2.3 利用Excel求,29,(三) F分布,30,,31,在Excel表單的任一單元格輸入 “=F.INV.RT (0.1, 9, 10)”